Métropole – Septembre 2013
Correction DNB mathématiques

Sujet commun à : La Réunion, Antilles, Guyane et Métropole.

Vous pouvez trouver l’énoncé du sujet ici.

Exercice 1

1. La courbe admet un maximum pour $x=1$. La quantité de principe actif de ce médicament dans le sang est maximale au bout d’une heure.
2. On cherche le point de la courbe dont l’abscisse est $2,5$ et on regarde son ordonnée. Au bout de $2$h$30$min, il y a environ $15$ mg/L de principe actif de médicament dans le sang.
3. Le médicament est actif pendant $4$h environ.

Exercice 2

1. Il peut avoir saisi : =somme(B2;L2) ou bien =B2+C2+D2+E2+D2+G2+K2+L2.
   En tirant la formule en C3, elle devient =C2/N2. Mais la cellule ne contient aucune valeur.
2. Il a tort puisqu’on peut obtenir $12$ en obtenant $6$ sur chacun des $2$ dés. Sur ses $50$ lancés, il n’a pas eu cependant la chance de l’obtenir.

Exercice 3

1. a. Tous les carrés ont $7$ cm de côté. Le périmètre d’un carré est donc de $4 \times 7 = 28$ cm.
   b. La longueur du rectangle noir est : $30 – 2 \times 7 = 16$ cm.
   Sa largeur est : $24 – 2\times 7 = 10$ cm.
   Son périmètre est donc : $2 \times (16 + 10) = 52$ cm.
2. On appelle $x$ la longueur d’un carré gris.
   Le périmètre des $4$ carrés est donc de : $4\times 4x = 16x$.
   La longueur du rectangle noir est : $30 – 2x$ et sa largeur est : $24 – 2x$.
   Son périmètre est donc : $2\times (30 – 2x + 24 – 2x) = 2 \times (54 – 4x) = 108 – 8x$.
   On cherche donc la valeur de $x$ telle que $16x = 108 – 8x$ soit $24x = 108$.
   Par conséquent $x = \dfrac{108}{24} = 4,5$.
   On peut donc faire en sorte que le périmètre du rectangle noir soit égal à la somme des périmètres des quatre carrés gris.

Exercice 4

1. $\dfrac{310,5}{3} = 103,5$. Le prix de revient d’un stage par enfant est donc de $103,50 €$.
2. cc
   

   Facture $1$			Facture $2$
   Prix d’un stage	$115€$		Prix d’un stage	$115€$
   Nombre d’enfants incrits	$2$		Nombre d’enfants incrits	$3$
   Prix total avant réduction	$230€$		Prix total avant réduction	$345€$
   Montant de la réduction ($5\%$ du prix total avant réduction)	$11,50€$		Montant de la réduction ($5\%$ du prix total avant réduction)	$34,50€$
   Prix à payer	$218,50€$		Prix à payer	$310,50€$

 Exercice 5

1. 
2. Dans le triangle $ABC$, $\cos \widehat{ACB} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{2,4}{1,5 + 2,5} = 0,6$
   On appelle $F$ le point de $[AC]$ tel que $(DF)$ et $(AC)$ soit perpendiculaires.
   Par conséquent, $\cos \widehat{ACB} = \cos \widehat{FCB} = \dfrac{CF}{DC} = \dfrac{CF}{1,5} = 0,6$
   Donc $CF = 0,6 \times 1,5 = 0,9$.
   Dans les triangles $CDF$ et $CBA$ :
   – $(DF)$ et $(BA)$ sont parallèles car perpendiculaires à $(AC)$.
   – $D \in [BC]$ et $F \in [AC]$
   On applique le théorème de Thalès :
   $\dfrac{CF}{CA} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{FD}{AB}$ Soit $\dfrac{0,9}{2,4} = \dfrac{FD}{3,2}$
   Par conséquent $FD = \dfrac{3,2 \times 0,9}{2,4} = 1,2$.
   On appelle $G$ le point de la hauteur issur de $D$ du triangle $BDE$.
   Alors $DG = 3,2 – 1,2 = 2$. De plus $BG = AF = 2,4 – 0,9 = 1,5$.
   Dans le triangle $ABE$, puisque $(DG)$ et $(AB)$ sont parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès.
   $\dfrac{ED}{EA} = \dfrac{EG}{EB} = \dfrac{DG}{AB}$ soit $\dfrac{EG}{EG+1,5} = \dfrac{2}{3,2}$.
   Par conséquent $3,2EG = 2EG + 3$ et donc $1,2EG = 3$
   D’où $EG = \dfrac{3}{1,2} = 2,5$.
   Par conséquent $BE = 1,5 + 2,5 = 4$.
   L’aire de $ABE$ est donc $\dfrac{4 \times 3,2}{2} = 6,4 \text{ cm}^2$.

Exercice 6

1. La hauteur d’une marche est donc de $\dfrac{96}{6} = 16$ cm.
   La profondeur d’une marche est de $\dfrac{55}{5} = 11$ cm.
   Donc $2h+p = 2\times 16 + 11 = 43$ cm.
   Les normes de construction de l’escalier ne sont pas respectées.
2. Dans le triangle ABD, rectangle en $B$, on applique le théorème de Pythagore.
   $AD^2 = AB^2 + BD^2 = 9216 + 42025 = 51241$
   Donc $AD \approx 226$ cm. La demande sur la longueur du plan incliné est respectée.
   Dans le triangle $BDA$ rectangle en $D$ : $\tan \widehat{BDA} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{96}{205}$.
   Donc $\widehat{BDA} \approx 25°$.
   Les demandes des habitués sont satisfaites.

Exercice 7

Affirmation 1 :  Vitesse moyenne du coureur : $\dfrac{18 \times 1000}{60 \times 60} = 5$ m/s.
Les $2$ vitesses sont donc égales. Affirmation fausse.

Affirmation 2 : $(3x-5)^2 = 9x^2-30x+25. Affirmation fausse.

Affirmation 3 : Considérons la série $1 – 2 – 99$. La médiane est $2$ et la moyenne est $34$. Affirmation fausse.

Exercice 8

Volume d’un bloc de pâte à modeler : $72~000 \text{ mm}^3$.

Volume d’une perle ronde : $\dfrac{4\pi \times 4^3}{3} \approx 113 \text{ mm}^3$.

On peut donc faire $\dfrac{72~000}{113} \approx 636$ perles rondes dans un bloc et donc, au maximum, $\dfrac{639}{8}$ soit $79$ bracelets.

Volume d’une perle longue : $2\pi \times 4 \times 16 \approx 402 \text{ mm}^3$.

On peut donc faire $\dfrac{72~000}{402} \approx 179$ perles longues dans un bloc et donc au maximum $\dfrac{179}{4}$ soit $44$ bracelets.

Elle peut ainsi espérer réaliser $44$ bracelets.