Nouvelle Calédonie – décembre

Nouvelle Calédonie – Décembre 2013
Correction DNB mathématiques

Vous pouvez trouver le sujet de ce brevet ici.

Exercice 1

  1. C : $4$ cm/s
  2. A : $3,844 \times 10^5$ km
  3. B : $\dfrac{125}{625} = \dfrac{125}{5\times 125} = \dfrac{1}{5}$
  4. C : $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

Exercice 2

On appelle $G$ le nombre de grands coquillages et $P$ le nombre de petits coquillages. On obtient le système suivant :

$\left\{ \begin{array}{l} G+P = 20 \\\\ 2G + P = 32 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = 20 – G \\\\ 2G + 20 – G = 32 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = 20 – G \\\\ G = 12 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = 8 \\\\  G = 12 \end{array} \right.$
Il a donc $12$ grands coquillages et $8$ petits.

Exercice 3

  1. $3$ pizzas sur $5$ contiennent des champignons. La probabilité que la pizza choisie contiennent des champignons dedans est donc de $\dfrac{3}{5}$.
  2. $1$ seule pizza sur les $3$ contenant de la crème contient également du jambon.
    La probabilité cherchée est donc de $\dfrac{1}{3}$.
  3. La probabilité qu’il y ait des champignons sur le $1^{\text{ère}}$ moitiée est de $\dfrac{3}{5}$.
    Il reste donc $2$ choix possibles (sur les $3$ initiaux qui contenaient des champignons) sur $4$ pizzas pour que la deuxième moitié contienne également des champignons.
    La probabilité cherchée est donc de $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$.
  4. Aire d’une pizza moyenne : $\pi \times 15^2 = 225 \pi \text{ cm}^2$
    Aire de 2 pizzas moyennes : $450 \pi \text{ cm}^2$
    Aire d’une grande pizza : $\pi \times 22^2 = 484\pi \text{ cm}^2$.
    on a donc plus à manger en commandant une grande pizza qu’en commandant $2$ moyennes.

Exercice 4

  1. Dans le triangle $ABC$ on a $AB = 4, AC = 5$ et $BC = 3$ car $C$ est le milieu de $[BD]$. Le plus grand côté est donc $[AC]$.
    D’une part $AC^2 = 25$ et d’autre part $AB^2+BC^2 = 16 + 9 = 25$
    Par conséquent $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
  2. Les points $A$, $B$ et $E$ étant alignés, le triangle $BDE$ est également rectangle en $B$.
  3. Dans le triangle $BDE$ rectangle en $B$, on applique le théorème de Pythagore :
    $DE^2 = BE^2+DB^2 = 49 + 36 = \sqrt{85} \approx 9,2$

Exercice 5

  1. Dans les triangles $AEC$ et $BDC$ :
    – les droites $(AE)$ et $(BD)$ sont parallèles
    – $D \in [EC]$ et $B\in [AC]$
    D’après le théorème de Thalès on a donc : $\dfrac{CD}{CE} = \dfrac{CB}{CA} = \dfrac{BD}{AE}$.
    Par conséquent $\dfrac{CD}{6} = \dfrac{1,10}{1,5}$. D’où $CD = \dfrac{1,10 \times 6}{1,5} = 4,4 \text{ m}$.
  2. $D \in [EC]$, par conséquent $ED = EC – CD = 6 – 4,4 = 1,6 \text{ m}$.
  3. Si elle passe à $1,40 \text{ m}$ derrière la camionnette alors elle se trouve entre les points $E$ et $D$. Sa taille est égale à $BD$. Elle se trouve donc dans la zone grisée et par conséquent le conducteur ne peut pas la voir.

Exercice 6

  1. $\mathcal{V}_{pavé moussant} = 20 \times 20 \times 8 = 3200 \text{ cm}^3$.
  2. $\mathcal{V}_{pyramide moussante} = \dfrac{20 \times 20 \times h}{3} = \dfrac{400h}{3} \text{ cm}^3$
  3. Si les $2$ volumes sont égaux alors $3200 = \dfrac{400h}{3}$. Par conséquent $h=\dfrac{3200 \times 3}{400} = 24 \text{ cm}$.

Exercice 7

  1. Catégorie Junior Intermédiaire Sénior
    Effectif par catégorie $1958$ $876$ $308$
    Niveau $5^{\text{ème}}$ $4^{\text{ème}}$ $3^{\text{ème}}$ $2^{\text{nde}}$ $1^{\text{ère}}$ Term
    Effectif par niveau $989$ $969$ $638$ $238$ $172$ $136$
    Effectif total $3142$
  2. C’est en $5^{\text{ème}}$ qu’il y a le plus d’inscrits avec $989$ élèves.
  3. La catégorie Senior avec $308$ inscrits est celle qui a le moins d’inscrits.
  4. $\dfrac{3142}{25} = 126$ (arrondi à l’unité)
    $126$ élèves par établissement, en moyenne, ont participé à ce concours.
  5. En $G5$, on peut écrire “$=C2+E2+G2$”.

Exercice 8

  1. Au début du jeu, le guerrier possède le plus de points. C’est donc lui le plus fort.
    Le mage, n’ayant alors aucun point, est le moins fort.
  2. Niveau $0$ $1$ $5$ $10$ $15$ $25$
    Points du Guerrier $50$ $50$ $50$ $50$ $50$ $50$
    Points du Mage $0$ $3$ $15$ $30$ $45$ $75$
    Points du Chasseur $40$ $41$ $45$ $50$ $55$ $65$
  3. D’après le tableau, le chasseur et le guerrier ont le même nombre de point au niveau $10$.
  4. Le guerrier est associé à la fonction $g$, le mage à la fonction $f$ et le chasseur à la fonction $h$.
  5. Pour tracer ces droites, on utilise, pour chacune $2$ points fournis par le tableau.
    Pour la droite qui représente $f$ : $(0;0)$ et $(25;75)$ (en noir)
    Pour la droite qui représente $h$ : $(0;41)$ et $(25;65)$ (en vert)DNB - nouvelle calédonie - décembre 2013
  6. Graphiquement, le mage devient plus fort quand la droite noire est au-dessus de la droite verte.
    Le point d’intersection des $2 $ droites est $(20 ;60)$.
    C’est donc au niveau $21$ que le mage devient plus fort.