E3C – Fonctions

Séries technologiques

L’objectif de l’exercice est de trouver le maximum de la fonction $r$ définie sur l’intervalle $[200;400]$ par $r(x)=-0,01x^3+4x^2$.

On admet que la fonction $r$ est dérivable sur $[200;400]$ et on note $r’$ sa dérivée.
Calculer $r'(x)$ et montrer que $r'(x)=x(-0,03x+8)$.
$\quad$
Donner le tableau de signe de la fonction dérivée $r’$ sur l’intervalle $[200;400]$.
$\quad$
En déduire le tableau de variation de la fonction $r$ sur l’intervalle $[200;400]$.
$\quad$
Quel est le maximum de cette fonction sur l’intervalle $[200;400]$? En quelle valeur est-il atteint?
$\quad$
Pour vérifier la solution de l’équation $r'(x)=0$ sur l’intervalle $[200;400]$, on utilise l’algorithme de balayage ci-dessous, écrit en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def balayage(pas)}:\\
\hspace{1cm} x=200\\
\hspace{1cm} \text{while }x*(-0,03x+8)>0:\\
\hspace{2cm} x=x+\text{pas}\\
\hspace{1cm} \text{return$(x-$pas$,x)$}\\
\hline
\end{array}$$
Que renvoie l’instruction $\text{balayage(1)}$?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[200;400]$ on a :
$r'(x)=-0,01\times 3x^2+4\times 2x=-0,03x^2+8x=x(-0,03x+8)$
$\quad$
$-0,03x+8=0 \ssi -0,03x=-8 \ssi x=\dfrac{8}{0,03} \ssi x=\dfrac{800}{3}$
$-0,03x+8>0 \ssi -0,03x>-8 \ssi x<\dfrac{800}{3}$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$
Voir tableau précédent
$\quad$
D’après le tableau de variations précédent, le maximum est atteint en $\dfrac{800}{3}$ et vaut $\dfrac{2~560~000}{3}$.
$\quad$
On a $\dfrac{800}{3}\approx 266,7$
Donc l’instruction $\text{balayage(1)}$ renvoie $(266,267)$.
$\quad$

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$\quad$

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