E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Un apiculteur vend des cartons de pots de miel.
Le coût, en euro, de production de $n$ cartons, $n\pp 120$, est modélisé par le nombre $C(n)$, où $C$ est la fonction définie sur $[0;120]$ par $C(x)=0,25x^2+500$.

  1. Calculer le coût de fabrication de $40$ cartons.
    $\quad$
  2. On considère le bénéfice, en euro, réalisé après la production et la vente de $n$ cartons. On admet qu’il est modélisé par le nombre $B(n)$, où $B$ est la fonction définie sur $[0;120]$ par $B(x)=-0,25x^2+30x-500$.
    Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[0;120]$, $B(x)=-0,25(x-20)(x-100)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0;120]$.
    $\quad$
  4. Combien de cartons doit produire et vendre l’apiculteur pour réaliser un bénéfice?
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre de cartons à produire et à vendre pour que le bénéfice soit maximal.
    $\quad$


$\quad$
Correction Exercice

  1. On a $C(40)=0,25\times 40^2+500=900$
    Le coût de fabrication de $40$ cartons est de $900$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout $x$ appartenant à $[0;120]$, on a :
    $\begin{align*} -0,25(x-20)(x-100)&=-0,25\left(x^2-100x-20x+2~000\right) \\
    &=-0,25\left(x^2-120x+2~000\right) \\
    &=-0,25x^2+30x-500\\
    &=B(x)\end{align*}$
  3. On a :
    $x-20=0 \ssi x=20$ et $x-20>0 \ssi x>20$
    $x-100=0 \ssi x=100$ et $x-100>0 \ssi x>100$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  4. D’après le tableau de signes, l’apiculteur doit vendre entre $20$ et $100$ cartons pour réaliser un bénéfice.
    $\quad$
  5. Le coefficient principal est $a=-0,25<0$.
    La fonction $B$ admet donc un maximum.
    On sait que $B(20)=B(100)=0$
    L’abscisse du maximum est donc $\dfrac{20+100}{2}=60$.
    L’apiculteur doit produire et vendre $60$ cartons pour réaliser un bénéfice maximal.
    $\quad$

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Source : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075

$\quad$