E3C – Automatismes

Séries technologiques

1. Calculer la masse correspondant à $\dfrac{2}{3}$ de $240$ grammes.
   $\quad$
   
   Correction Question 1

   $\dfrac{2}{3} \times 240 = 2\times 80=160$.
   Cela correspond donc à $160$ g.
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
2. Compléter : « augmenter de $0,3 \%$ revient à multiplier par …… »
   $\quad$
   
   Correction Question 2

   Cela revient à multiplier par $1+\dfrac{0,3}{100}=1,003$.
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
3. Compléter : « diminuer de …… $\%$ revient à multiplier par $0,86$ »
   $\quad$
   
   Correction Question 3

   $0,86=1-0,14$
   Donc « diminuer de $14\%$ revient à multiplier par $0,86$ »
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
4. Des mesures annuelles ont été relevées dans le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{années}&2015&2016&2017\\
   \hline
   \text{mesures}&&5,00&4,00\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Déterminer le taux d’évolution des mesures entre 2016 et 2017.
   $\quad$
   
   Correction Question 4.a.

   On a $\dfrac{4,00-5,00}{5,00}=-0,2$
   Il s’agit donc d’une baisse de $20\%$.
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
   b. Sachant que le taux de 2015 à 2016 est $+25 \%$, calculer la mesure en 2015.
   $\quad$
   
   Correction Question 4.b.

   On appelle $x$ la mesure en 2015.
   On a donc $x\left(1+\dfrac{25}{100}\right)=5,00$
   Soit $1,25x=5,00$ et par conséquent $x=\dfrac{5,00}{1,25}=4,00$
   $\quad$.

   [collapse]
   
   $\quad$

   $\quad$

5. Déterminer le taux global d’une hausse de $10 \%$ suivie d’une baisse de $20 \%$.
   $\quad$
   
   Correction Question 5

   Le coefficient multiplicateur global est :
   $\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{20}{100}\right) \\
   &=1,1\times 0,8 \\
   &=0,88\\
   &=1-0,12\end{align*}$
   Il s’agit donc d’une baisse de $12\%$ soit un taux globale de $-12\%$.
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
6. Résoudre $2x-(2-x)=7$.
   $\quad$
   
   Correction Question 6

   $2x-(2-x)=7\ssi 2x-2+x=7 \ssi 3x=9\ssi x=3$
   La solution de l’équation est $3$.
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
7. Résoudre $(x+3)^2-8=0$.
   $\quad$
   
   Correction Question 7

   $(x+3)^2-8=0 \ssi x^2+6x+9-8=0\ssi
   x^2+6x+1=0$
   Le discriminant est $\Delta=36-4=32>0$
   Les solutions sont donc $\dfrac{-6-\sqrt{32}}{2}$ et $\dfrac{-6+\sqrt{32}}{2}$.
   $\quad$
   Autre méthode
   $(x+3)^2-8=0 \ssi (x+3)^2=8 \ssi x+3=\sqrt{8}$ ou $x+3=-\sqrt{8}$ $\ssi x=-3+\sqrt{8}$ ou $x=-3-\sqrt{8}$
   $\quad$
   

   [collapse]
   
   $\quad$
8. Etudier le signe de $f(x)=4+3x$.
   $\quad$
   
   Correction Question 8

   $4+3x=0 \ssi 3x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{3}$
   $4+3x>0 \ssi 3x>-4 \ssi x>-\dfrac{4}{3}$
   Ainsi :
   – sur $\left]-\infty;-\dfrac{4}{3}\right[$ on a $f(x)<0$;
   – $f\left(-\dfrac{4}{3}\right)=0$;
   – sur $\left]-\dfrac{4}{3};+\infty\right[$ on a $f(x)>0$.
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$
9. Etudier le signe de $h(x)=2x(5-2x)$.
   $\quad$
   
   Correction Question 9

   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $2x=0 \ssi x=0$
   $5-2x=0 \ssi -2x=-5 \ssi x=\dfrac{5}{2}$
   De plus $h(x)=10x-4x^2$
   $h$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-4<0$.
   Par conséquent :
   – sur $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{5}{2};+\infty\right[$ on a $h(x)<0$;
   – $h(0)=0$ et $h\left(\dfrac{5}{2}\right)=0$;
   – sur $\left]0;\dfrac{5}{2}\right[$ on a $h(x)>0$.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également réaliser un tableau de signes pour répondre à la question.
   $\quad$

   [collapse]
   
   $\quad$

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