E3C – Séries technologiques – Fonctions – EC2

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $r$ la fonction définie sur $[0;110]$ par $r(x)=-0,5x^2+55x$.
On donne un tableau de valeurs de $r$:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&10&20&30&40&50&60&70&80&90&100&110\\
\hline
r(x)&0&500&900&1200&1400&1500&1500&1400&1200&900&500&0\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quelles sont les racines de $r(x)$?
    $\quad$
    b. En déduire la forme factorisée de $r(x)$.
    $\quad$
  2. a. Donner l’allure de la portion de parabole qui représente la fonction $r$.
    Justifier.
    b. Déterminer les coordonnées du sommet de la portion de parabole.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variations de $r$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. D’après le tableau $r(0)=0$ et $r(110)=0$.
    $r$ est une fonction du second degré qui s’annule en deux réels distincts.
    Les deux racines de $r$ sont donc $0$ et $110$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à $[0;110]$ on a :
    $r(x)=-0,5x(x-110)$.
    $\quad$
  2. a. Le coefficient principal de la fonction du second degré $r$ est $a=-0,5<0$. La fonction $r$ est donc d’abord croissante puis décroissante.
    On obtient donc l’allure suivante :$\quad$
    b. L’abscisse du sommet est $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{55}{1}=55$.
    $r(55)=1~512,5$
    Le sommet de la portion de parabole a donc pour coordonnées $(55;1~512,5)$.
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

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$\quad$

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