E3C – Séries technologiques – Fonctions – EC2

E3C – Fonctions

Séries technologiques

La glycémie est la concentration massique exprimée en gramme par litre (g.L$^{-1}$) de sucre dans le sang. Le diabète se caractérise par une hyperglycémie chronique, c’est-à-dire un excès de sucre dans le sang et donc une glycémie trop élevée.

Une glycémie est normale lorsqu’elle est comprise entre $0,7$ g.L$^{-1}$$ et $1,1$ g.L$^{-1}$ à jeun et lorsqu’elle est inférieure à $1,4$ g.L$^{-1}$, une heure et trente minutes après un repas.
Lorsque l’on suspecte un diabète, on pratique un test de tolérance au glucose.
Lorsqu’il est à jeun, le patient ingère $75$ g de glucose au temps $t= 0$ ($t$ est exprimé en heure).

Pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0;3]$, la glycémie du patient, exprimée en g.L$^{-1}$, $t$ heures après l’ingestion, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par : $$f(t)=0,3t^3-1,8t^2+2,7t+0,8$$

  1. Que fait la glycémie du patient à jeun?
    $\quad$
  2. a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à $[0;3]$, $$f'(t)=0,9(t-1)(t-3)$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0;3]$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$.
    $\quad$
  3. a. Au bout de combien d’heures la glycémie du patient est-elle maximale et que vaut-elle ?
    $\quad$
    b. Peut-on suspecter un diabète chez le patient ? Expliquer.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(0)=0,8$.
    La glycémie du patient à jeun vaut $0,8$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $t\in [0;3]$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=0,3\times 3t^2-1,8\times 2t+2,7 \\
    &=0,9t^2-3,6t+2,7\end{align*}$
    Or :
    $\begin{align*} 0,9(t-1)(t-3)&=0,9\left(t^2-3t-t+3\right) \\
    &=0,9\left(t^2-4t+3\right) \\
    &=0,9t^3-3,6t^2+2,7\\
    &=f'(t)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $t-1=0\ssi t=1$ et $t-1>0 \ssi t>1$
    $t-3=0\ssi t=3$ et $t-3>0\ssi t>3$
    On obtient le tableau de signes et de variations suivant :


    $\quad$

  3. a. D’après le tableau de variations de la fonction $f$ la glycémie est maximale au bout d’une heure et vaut $2$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
    b. $f(1,5)=1,8125>1,4$
    On peut donc suspecter un diabète chez le patient.
    $\quad$

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