E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un artisan produit des vases en terre cuite. Sa capacité de production est limitée à $60$ vases.
Le coût de production, en euros, dépend du nombre de vases produits.
Ce coût de production peut être modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$ par $$C(x)=x^2-10x+500$$

Un vase est vendu $50$ €. Les recettes, qui dépendent du nombre de vases produits et vendus, sont modélisées par une fonction $R$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$.

Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l’artisan produit et vend $50$ vases.
$\quad$
Exprimer $R(𝑥)$ en fonction de $x$.
$\quad$
Le résultat, en euro, réalisé par l’artisan est modélisé par la fonction $B$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$ par $B(x) = R(x)-C(x)$.
a. Vérifier que $B(𝑥) = -(𝑥-10)(x-50)$.
$\quad$
b. Déterminer le nombre de vases à produire et à vendre pour que l’artisan réalise des bénéfices (c’est-à-dire pour que le résultat $B(x)$ soit positif).
$\quad$
On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
a. Déterminer $B'(x)$.
$\quad$
b. Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$ et en déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} C(50)&=50^2-10\times 50+500 \\
&=2~500\end{align*}$
et $R(50)=50\times 50=2~500$.
Le coût de fabrication de $50$ vases est de $2~500$ € et la recette réalisée est également de $2~500$ €.
$\quad$
Pour tout $x\in [0;60]$ on a $R(x)=50x$.
$\quad$
a. Pour tout $x\in [0;60]$ on a d’une part :
$\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
&=50x-x^2+10x-500 \\
&=-x^2+60x-500\end{align*}$
D’autre part :
$\begin{align*} -(x-10)(x-50)&=-\left(x^2-50x-10x+500\right)\\
&=-\left(x^2-60x+500\right)\\
&=-x^2+60x-500\end{align*}$
Par conséquent $B(x)=-(x-10)(x-50)$.
$\quad$
b. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines sont $10$ et $50$ et le coefficient principal $a=-1$.
Par conséquent $B(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[10;50]$.
Il faut donc produire entre $10$ et $50$ vases pour réaliser des bénéfices.
$\quad$
a. Pour tout $x\in [0;50]$ on a $B(x)=-x^2+60x-500$
Donc : $B'(x)=-2x+60$.
$\quad$
b. $B'(x)=0 \ssi -2x+60=0 \ssi -2x=-60 \ssi x=30$
$B'(x)>0 \ssi -2x+60>0\ssi -2x>-60 \ssi x<30$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

On en déduit donc qu’il faut vendre $30$ vases pour réaliser un bénéfice maximum.
$\quad$

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$\quad$

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