E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une chaîne de montage est constituée d’un tapis roulant et d’un plateau mobile verticalement sur lequel est placée une masse $m$.
On modélise la hauteur du plateau (en centimètres), à l’instant $t$ (en secondes) par la fonction $f$ définie sur $[0; 25]$ par : $f(t)=165-0,15t^2$.

Calculer la hauteur du plateau au départ, c’est-à-dire à l’instant $t=0$ seconde.
$\quad$
a. Quelle est la nature de la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé?
$\quad$
b. Déterminer la hauteur maximale du plateau et le temps auquel cette hauteur maximale est atteinte.
$\quad$
La hauteur du tapis roulant est $95$ cm. Déterminer à quel temps $t$, à $0,1$ seconde près, le plateau est à hauteur du tapis.
$\quad$
Sur le graphique donné en annexe on a placé les points $A$ et $B$ de la courbe représentative de la fonction $f$ d’abscisses respectives $25$ et $20$.
Déterminer la pente de la droite $(AB)$.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

On a $f(0)=165$.
Le plateau est situé à $165$ cm de haut au départ.
$\quad$
a. $f$ est une fonction du second degré. Elle est donc représentée par une parabole.
$\quad$
b. Le coefficient principal de la fonction $f$ est $a=-0,15<0$.
Ainsi $f$ admet un maximum en $t_0=-\dfrac{b}{2a}=0$.
La hauteur maximale du plateau est donc de $165$ cm. Elle est atteinte à l’instant $t=0$ seconde.
$\quad$
On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(t)=95&\ssi 165-0,15t^2=95 \\
&\ssi -0,15t^2=-70 \\
&\ssi t^2=\dfrac{70}{0,15}\end{align*}$
Puisque $t\in [0;25]$ alors la solution de l’équation est $\sqrt{\dfrac{70}{0,15}} \approx 21,6$.
Le plateau est à la hauteur du tapis environ à l’instant $t=21,6$ seconde.
$\quad$
Graphiquement le point A a pour coordonnées $(25;71)$ et $B$ a pour coordonnées $(20;105)$.
Ainsi la pente de la droite $(AB)$ est $\dfrac{105-71}{20-25}=-6,8$.
$\quad$

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$\quad$

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