E3C – Séries technologiques – Géométrie repérée – Janvier 2020

E3C – Géométrie repérée

Séries technologiques

On considère le modèle d’enceinte ci-dessous (Le Haut-Parleur Bluetooth Cube) dont les dimensions en cm sont : $$4,9 \times 4,9 \times 5,5$$
L’objectif est d’étudier le bouton de cette enceinte.

Cette enceinte est modélisée par un pavé droit $ABCDEFGH$ représenté sur la figure ci-dessus et tel que $\boldsymbol{AB=4,9, AD=4,9}$ et $\boldsymbol{AE=5,5}$.

On considère alors les points $I$, $J$ et $K$ respectivement situés sur les arêtes $[AB], [AD]$ et $[AE]$ tels que $AI=AJ=AK=1$. On munit ainsi l’espace d’un repère orthonormé $\left(A,\vect{AI},\vect{AJ},\vect{AK}\right)$, repère représenté dans l’Annexe 1 à joindre avec la copie.
Le bouton étudié y est représenté par le triangle $MNP$ de coordonnées $M(4,9; 3,7; 5,5)$, $N(3,7; 4,9; 5,5)$ et $P(4,9; 4,9; 4,4)$.

  1. Placer $M$, $N$ et $P$ sur la figure et colorier en rouge la section du cube par $MNP$.
    $\quad$
  2. Le bouton est conforme si chacune de ses dimensions mesure au moins $1$ cm.
    a. Calculer les longueurs $MN$, $MP$ et $NP$.
    $\quad$
    b. Le bouton est-il conforme ?
    $\quad$
  3. On considère un autre modèle d’enceinte constituée :
    – d’un cube de $8,1$cm de côté ;
    – d’un bouton en forme de croix, centrée sur la face supérieure, constituée de $2$ rectangles dont les côtés sont parallèles aux axes et mesurent chacun $2,2 \times 6,6$ cm ;
    – de hauts parleurs sur les faces latérales, représentées par des cercles de rayon $3,3$ cm, centrés sur chacune des faces.
    L’objectif de cette partie est de compléter la représentation en perspective parallèle de l’enceinte, représentation commencée dans l’Annexe 2 et à rendre avec la copie.
    Terminer la construction de la croix sur la face supérieure.
    $\quad$
  4. Un des hauts parleurs est représenté en Annexe 2. Représenter le haut-parleur de la
    deuxième face latérale visible. (On a déjà représenté un carré circonscrit au cercle).
    $\quad$

Annexe 1

Annexe 2

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} MN&=\sqrt{(3,7-4,9)^2+(4,9-3,7)^2+(5,5-5,5)^2}\\
    &=\sqrt{2,88}\\
    &>1\end{align*}$
    $\begin{align*} MP&=\sqrt{(4,9-4,9)^2+(4,9-3,7)^2+(5,5-4,4)^2} \\
    &=\sqrt{2,65}\\
    &>1\end{align*}$
    $\begin{align*} NP&=\sqrt{(4,9-3,7)^2+(4,9-4,9)^2+(4,4-5,5)^2}\\
    &=\sqrt{2,65}\\
    &>1\end{align*}$
    $\quad$
    b Les trois longueurs sont bien supérieures à $1$ cm.
    Le bouton est donc conforme.
    $\quad$
  3. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
  4. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

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$\quad$

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