E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une équipe de rugby est composée de $35$ joueurs qui se répartissent en $21$ joueurs avant et $14$ joueurs arrière.
On dénombre $15$ joueurs avant qui pèsent plus de $100$ kg, alors que c’est le cas de seulement $3$ joueurs arrière.

  1. Recopier et compléter le tableau d’effectifs donné ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule[-8pt]{0pt}{20pt}&~\textbf{Joueur avant}~&~\textbf{Joueur arrière}~&\phantom{12345}\textbf{Total}\phantom{12345}\\
    \hline
    \textbf{Plus de $\boldsymbol{100}$ kg}&\rule[-8pt]{0pt}{20pt}&&\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Strictement moins}\\\textbf{de $\boldsymbol{100}$ kg}\end{array}&&&\\
    \hline
    \textbf{Total}&\rule[-8pt]{0pt}{20pt}&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Un joueur de cette équipe de rugby est choisi au hasard.
On appelle $A$ l’événement « le joueur est un joueur avant » et $B$ l’événement « le joueur pèse plus de $100$ kg ».
Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

  1. Déterminer la probabilité de l’événement $A$ puis de l’événement $B$.
    $\quad$
  2. Calculer $P(A \cap B)$ et interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Le joueur choisi est un joueur avant.
    Déterminer la probabilité qu’il pèse plus de $100$ kg.
    $\quad$
  4. Calculer $P_B(A)$ et interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule[-8pt]{0pt}{20pt}&~\textbf{Joueur avant}~&~\textbf{Joueur arrière}~&\phantom{12345}\textbf{Total}\phantom{12345}\\
    \hline
    \textbf{Plus de $\boldsymbol{100}$ kg}&\rule[-8pt]{0pt}{20pt}15&3&18\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Strictement moins}\\\textbf{de $\boldsymbol{100}$ kg}\end{array}&6&11&17\\
    \hline
    \textbf{Total}&\rule[-8pt]{0pt}{20pt}21&14&35\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. $P(A)=\dfrac{21}{35}=0,6$
    $P(B)=\dfrac{18}{35}\approx 0,514$
    $\quad$
  3. $P(A\cap B)=\dfrac{15}{35}=\dfrac{3}{7}\approx 0,429$
    La probabilité que le joueur soit un joueur avant de plus de $100$ kg est environ égale à $0,429$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_A(B)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{15}{35}}{~~\dfrac{21}{35}~~} \\
    &=\dfrac{15}{21} \\
    &=\dfrac{5}{7} \\
    &\approx 0,714\end{align*}$
    La probabilité que le joueur pèse plus de $100$ kg sachant que c’est un joueur avant est environ égale à $0,714$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{15}{35}}{~~\dfrac{18}{35}~~} \\
    &=\dfrac{15}{18}\\
    &=\dfrac{5}{6} \\
    &\approx 0,833\end{align*}$
    La probabilité que le joueur soit un joueur avant sachant qu’il pèse plus de $100$ kg est environ égale à $ 0,833$.
    $\quad$

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$\quad$

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