E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2 ; 2]$ par $f(x)=2x^3+2x^2-2x+3$ et $C$ sa représentation graphique dans le repère suivant.

  1. On considère la droite $d$ d’équation $y=2x+3$.
    a. Montrer que déterminer les abscisses des points d’intersection entre la droite $d$ et la courbe $C$ revient à résoudre l’équation $2x\left(x^2+x-2\right)$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre $d$ et $C$.
    $\quad$
  2. On considère la droite $d’$ d’équation $y=2x+a$ où $a$ est un nombre réel.
    À l’aide du graphique, donner une valeur de $a$ pour laquelle la droite $d’$ et la courbe $C$ ont un seul point d’intersection.
    $\quad$
  3. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-2 ; 2]$ , $f'(x)=6(x+1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=2x+3&\ssi 2x^3+2x^2-2x+3=2x+3 \\
    &\ssi 2x^3+2x^2-4x=0 \\
    &\ssi 2x\left(x^2+x-2\right)=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $2x\left(x^2+x-2\right)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $2x=0$ ou $x^2+x-2=0$
    $2x=0 \ssi x=0$
    $\quad$
    Résolution de $x^2+x-2=0$
    $\begin{align*} \Delta &=1^2-4\times 1\times (-2) \\
    &=9\\
    &>0\end{align*}$
    L’équation possède alors deux solutions réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}\\
    &=-2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}\\
    &=1\end{align*}$
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $2x\left(x^2+x-2\right)=0$ possède trois solutions : $-2$, $0$ et $1$.
    Si $x=-2$ alors $y=2\times (-2)+3=-1$
    Si $x=0$ alors $y=3$
    Si $x=1$ alors $y=2\times 1+3=5$
    Ainsi les points d’intersection entre $d$ et $C$ ont pour coordonnées $(-2;-1)$, $(0;3)$ et $(1;5)$.
    $\quad$
  2. On peut par exemple prendre $a=8$.
    La droite d’équation $y=2x+8$ passe par les points de coordonnées $(-2;6)$ et $(0;8)$ et ne coupe la courbe $C$ qu’en un seul point (d’abscisse strictement positive).
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[-2;2]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-2;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2+2\times 2x-2\\
    &=6x^2+4x-2\end{align*}$
    On a également :
    $\begin{align*} 6(x+1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)&=(x+1)(6x-2) \\
    &=6x^2-2x+6x-2\\
    &=6x^2+4x-2\\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)$ est un polynôme du second degré possédant donc deux racines $-1$ et $\dfrac{1}{3}$ et dont le coefficient principal est $a=6$.
    Ainsi :
    $f'(x)>0$ sur $[-2;-1[\cup\left]\dfrac{1}{3};2\right]$
    $f'(x)<0$ sur $\left]-1;\dfrac{1}{3}\right[$
    $f(-1)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$
    Par conséquent $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-2;-1]$ et sur $\left[\dfrac{1}{3};2\right]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[-1;\dfrac{1}{3}\right]$.
    $\quad$

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$\quad$

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