Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=8x^3-6x^2-2$. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un plan muni d’un repère orthogonal.

a. Justifier que pour tout réel $x$, $f(x)=(x-1)\left(8x^2+2x+2\right)$.
$\quad$
b. En déduire que la courbe $C$ coupe l’axe des abscisses en un seul point $A$ dont on donnera les coordonnées.
$\quad$
a. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=12x(2x-1)$.
$\quad$
b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
$\quad$
Le point de coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{2}\right)$ appartient-il à la tangente $T$ à la courbe $C$ au point $B$ d’abscisse $x=\dfrac{1}{2}$ ? Justifier.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} &(x-1)\left(8x^2+2x+2\right)\\
&=8x^3+2x^2+2x-8x^2-2x-2\\
&=8x^3-6x^2-2\\
&=f(x)\end{align*}$
$\quad$
b. On veut résoudre l’équation $f(x)=0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $x-1=0 \ssi x=1$ ou $8x^2+2x+2=0$
Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 8\times 2\\
&=-60\\
&<0\end{align*}$
Ce polynôme ne possède donc pas de racine.
Ainsi la courbe $C$ coupe l’axe des abscisses en un seul point $A$ de coordonnées $(1;0)$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=8\times 3x^2-6\times 2x \\
&=24x^2-12x\\
&=12x(2x-1)\end{align*}$
$\quad$
b. $12x=0\ssi x=0$ et $12x>0 \ssi x>0$
$2x-1=0 \ssi x= \dfrac{1}{2}$ et $2x-1>0 \ssi x>\dfrac{1}{2}$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$\quad$
On a $f’\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$ et $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{2}$.
Une équation de la tangente $T$ est donc $y=-\dfrac{5}{2}$.
Ainsi le point de coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{2}\right)$ appartient à $T$.
$\quad$

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$\quad$

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