E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=8x^3-6x^2-2$. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un plan muni d’un repère orthogonal.

  1. a. Justifier que pour tout réel $x$, $f(x)=(x-1)\left(x^2+2x+2\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire que la courbe $C$ coupe l’axe des abscisses en un seul point $A$ dont on donnera les coordonnées.
    $\quad$
  2. a. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=12x(2x-1)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Le point de coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{2}\right)$ appartient-il à la tangente $T$ à la courbe $C$ au point $B$ d’abscisse $x=\dfrac{1}{2}$ ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} &(x-1)\left(x^2+2x+2\right)\\
    &=8x^3+2x^2+2x-8x^2-2x-2\\
    &=8x^3-6x^2-2\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $f(x)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x-1=0 \ssi x=1$ ou $8x^2+2x+2=0$
    Le discriminant du polynôme du second degré est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 8\times 2\\
    &=-60\\
    &<0\end{align*}$
    Ce polynôme ne possède donc pas de racine.
    Ainsi la courbe $C$ coupe l’axe des abscisses en un seul point $A$ de coordonnées $(1;0)$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=8\times 3x^2-6\times 2x \\
    &=24x^2-12x\\
    &=12x(2x-1)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $12x=0\ssi x=0$ et $12x>0 \ssi x>0$
    $2x-1=0 \ssi x= \dfrac{1}{2}$ et $2x-1>0 \ssi x>\dfrac{1}{2}$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. On a $f’\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$ et $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{2}$.
    Une équation de la tangente $T$ est donc $y=-\dfrac{5}{2}$.
    Ainsi le point de coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{2}\right)$ appartient à $T$.
    $\quad$

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$\quad$

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