Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty;2[$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2-4x+8}{x-2}$$
On se place dans un repère orthonormé.

Résoudre $f(x)=0$.
$\quad$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
a. Démontrer que pour tout réel $x$ de $]-\infty;2[$: $$f'(x)=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}$$
$\quad$
b. Déterminer les variations de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente $D$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$.
$\quad$
Tracer la droite $D$ et une esquisse de la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère donné en Annexe à rendre avec la copie.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

Sur $]-\infty;2[$, on a $f(x)=0 \ssi x^2-4x+8=0$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est
$\begin{align*} \Delta&=(-4)^2-4\times 1\times 8\\
&=-16\\
&<0\end{align*}$
Le polynôme ne possède donc pas de racines réelles.
Par conséquent l’équation $f(x)=0$ n’a pas de solution sur $]-\infty;2[$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-\infty;2[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]-\infty;2[$.
Pour tout réel $x<2$ on a :
$\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{(2x-4)(x-2)-\left(x^2-4x+8\right)\times 1}{(x-2)^2} \\
&=\dfrac{2x^2-4x-4x+8-x^2+4x-8}{(x-2)^2}\\
&=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}\end{align*}$
$\quad$
b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-4x$.
Or $x^2-4x=0 \ssi x(x-4)=0 \ssi x=0$ ou $x=4$.
Le coefficient principal du polynôme du second degré $x^2-4x$ est $a=1>0$.
Donc $x^2-4x<0$ sur $]0;4[$ et $x^-4x>0$ sur $]-\infty;0[\cup]4;+\infty[$.
Ainsi $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;0]$ et strictement décroissante sur $[0;2[$.
$\quad$
Une équation de $D$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Or $f(1)=-5$ et $f'(1)=-3$
Une équation de $D$ est donc $y=-3(x-1)-5$ soit $y=-3x-2$.
$\quad$
On obtient le graphique suivant :

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$\quad$

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