E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un industriel souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d’une plaque de métal de $18$ cm de largeur et de $24$ cm de longueur. Pour cela, il enlève des carrés dont la longueur du côté mesure $x$ cm aux quatre coins de la pièce de métal et relève ensuite verticalement pour fermer les côtés.

Le volume de la boîte ainsi obtenue est une fonction définie sur l’intervalle $[0 ; 9]$ notée $\mathcal{V}(x)$.

  1. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ; 9]$ : $\mathcal{V}(x) =4x^3-84x^2+432x$.
    $\quad$
  2. On note $\mathcal{V}’$ la fonction dérivée de $\mathcal{V}$ sur $[0 ; 9]$. Donner l’expression de $\mathcal{V}'(x)$ en
    fonction de $x$.
    $\quad$
  3. Dresser alors le tableau de variations de $\mathcal{V}$ en détaillant la démarche.
    $\quad$
  4. Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la contenance de la boîte est-elle maximale ?
    $\quad$
  5. L’industriel peut-il construire ainsi une boîte dont la contenance est supérieure ou égale à $650$ cm$^3$ ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le volume de la boîte est :
    $\begin{align*} \mathcal{V}&=x (24-2x)(18-2x) \\
    &=\left(24x-2x^2\right)(18-2x)\\
    &=432x-48x^2-36x^2+4x^3\\
    &=4x^3-84x^2+432x\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction $\mathcal{V}$ est dérivable sur $[0;9]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;9]$ on a
    $\begin{align*}\mathcal{V}'(x)&=4\times 3x^2-84\times 2x+432\\
    &=12x^2-168x+432\end{align*}$
    $\quad$
  3. Étudions le signe de $12x^2-168x+432$.
    $\begin{align*}\Delta&=(-168)^2-4\times 12\times 432 \\
    &=7~488\\
    &>0\end{align*}$
    Les racines de ce polynôme du second degré sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{168-\sqrt{7~488}}{24} \\
    &=7-\sqrt{13}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{168+\sqrt{7~488}}{24} \\
    &=7+\sqrt{13}\end{align*}$
    $x_1\in[0;9]$ et $x_2\notin[0;9]$
    Le coefficient principal est $a=12>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Où $\mathcal{V}\left(7-\sqrt{13}\right)\approx 654,98$.
    $\quad$
  4. D’après le tableau de variation la fonction $\mathcal{V}$ atteint son maximum pour $x=7-\sqrt{13}$.
    La contenance de la boîte est donc maximale pour $x=7-\sqrt{13}$.
    $\quad$
  5. $\mathcal{V}\left(7-\sqrt{13}\right)\approx 654,98>650$.
    L’industriel peut donc construire une boîte dont la contenance est supérieure ou égale à $650$ cm$^3$.
    $\quad$

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$\quad$

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