E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un propriétaire souhaite construire un enclos rectangulaire sur son terrain.

Celui-ci est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé, d’unité le mètre. Il est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation $x = 5$ et la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 5]$ par $f(x) = 4\e^{-0,5x}$.

L’enclos est représenté par le rectangle $OABC$ où $O$ est l’origine du repère et $B$ un point de $C_f$, $A$ et $C$ étant respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. On note $x$ l’abscisse du point $A$ et $D$ le point de coordonnées $(5 ; 0)$. Le but de l’exercice est de déterminer la position du point $A$ sur le segment $[OD]$ permettant d’obtenir un enclos de superficie maximale.

  1. Justifier que la superficie de l’enclos, en m$^2$, est donnée en fonction de $x$ par $g(x)=4x\e^{-0,5x}$ pour $x$ dans l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $[0 ; 5]$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 5]$, on a $g'(x)=(4-2x)\e^{-0,5x}$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0 ; 5]$.
    $\quad$
  4. Où doit-on placer le point $A$ sur $[OD]$ pour obtenir une superficie d’enclos maximale ?
    Donner la superficie maximale possible en arrondissant le résultat au dm$^2$.
    $\quad$


$\quad$
Correction Exercice

  1. La superficie de l’enclos est $OA\times OC$.
    Or $OA=x$ et $OC=f(x)$.
    Par conséquent la superficie de l’enclos est :
    $\begin{align*} g(x)&=xf(x)\\
    &=4x\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $g(x)$ est de la forme $g(x)=u(x)\times f(x)$ avec $u(x)=4x$
    Donc $u'(x)=4$ et $f'(x)=-0,5\e^{-0,5x}$
    Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;5]$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=u'(x)\times f(x)+u(x)\times f'(x)\\
    &=4\e^{-0,5x}+4x\times \left(-0,5\e^{-0,5x}\right)\\
    &=4\e^{-0,5x}-2x\e^{-0,5x} \\
    &=(4-2x)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de $4-2x$.
    $4-2x=0 \ssi 4=2x \ssi x=2$ et $4-2x>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations $g$ atteint son maximum pour $x=2$.
    Le point $A$ doit donc se trouver à $2$ m de $O$ pour la superficie de l’enclos soit maximale.
    On a $g(2) \approx 2,94$.
    La superficie maximale est donc environ égale à $2,94$ m$^2$.
    $\quad$

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$\quad$

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