Probabilités

E3C2 – 1ère

Le principe d’un Escape Game est le suivant : une équipe de participants est enfermée à l’intérieur d’une salle à thème et doit réussir à en sortir en moins d’une heure (on parle alors de partie réussie). Au-delà d’une heure, les participants sont libérés et la partie est perdue.

Un exploitant d’Escape Game propose à ses participants de faire deux parties à la suite : la première partie se déroule dans la salle à thème « Espion », la seconde partie dans la salle à thème « Musée ». Il dispose des données suivantes :

lorsqu’une équipe joue dans la salle à thème « Espion », la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Espion » est égale à $0,5$ ;
lorsqu’une équipe a réussi la partie « Espion», la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Musée » est égale à $0,6$ ;
lorsqu’une équipe n’a pas réussi la partie « Espion », la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Musée » est égale à $0,45$.

Une équipe est choisie au hasard. On note les événements suivants :

$E$ : « l’équipe réussit la partie « Espion » ;
$M$ : « l’équipe réussit la partie « Musée ».

Sur la copie, recopier et compléter l’arbre de probabilités suivant :
$\quad$
Déterminer la probabilité que l’équipe réussisse les deux parties.
$\quad$
Montrer que la probabilité que l’équipe réussisse la partie « Musée » est égale à $0,525$.
$\quad$
Quelle est la probabilité qu’une équipe échoue à la partie « Espion » sachant qu’elle a réussi la partie « Musée » ? On donnera la réponse arrondie à $10^{-2}$.
$\quad$
Pour chacune des deux parties qui sont gagnées, une équipe reçoit $2$ € de réduction pour une prochaine visite. Elle peut donc recevoir $0$, $2$ ou $4$ € de réduction.
Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, quel est le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties ? Expliquer la démarche.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} p(E\cap M)&=p(E)\times p_E(M)\\
&=0,5\times 0,6\\
&=0,3\end{align*}$
La probabilité que l’équipe réussisse les deux parties est égale à $0,3$.
$\quad$
$E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(M)&=p(E\cap M)+p\left(\conj{E}\cap M\right)\\
&=0,5\times 0,6+0,5\times 0,45\\
&=0,525\end{align*}$
La probabilité que l’équipe réussisse la partie « Musée » est égale à $0,525$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_M\left(\conj{E}\right)&=\dfrac{p\left(M\cap \conj{E}\right)}{p(M)}\\
&=\dfrac{0,5\times 0,45}{0,525}\\
&\approx 0,43\end{align*}$
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le montant de la réduction obtenue.
$X$ suit donc la loi de probabilité suivante :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&~~0~~&~~2~~&~~4~~\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,275&0,425&0,3\\
\hline
\end{array}$
En effet :
$P(X=4)=p(E\cap M)$
$\begin{align*} P(X=0)&=p\left(\conj{E}\cap \conj{M}\right) \\
&=0,5\times 0,55\\
&=0,275\end{align*}$
$ \begin{align*} P(X=2)&=P\left(\left(E\cap \conj{M}\right)\cup\left(\conj{E}\cap M\right)\right) \\
&=P\left(E\cap \conj{M}\right)+P\left(\conj{E}\cap M\right) \qquad \text{(incompatibilité)}\\
&=P(E)\times P_E\left(\conj{M}\right)+P\left(\conj{E}\right)\times P_{\conj{E}}(M)\\
&=0,5\times 0,4+0,5\times 0,45 \\
&=0,425
\end{align*}$
Remarque : on vérifie que $0,275+0,425+0,3=1$.
Ainsi :
$\begin{align*} E(X)&=0\times P(X=0)+2\times P(X=2)+4\times P(X=4)\\
&=2\times 0,425+4\times 0,3\\
&=2,05\end{align*}$
Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties est égal à $2,05$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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