E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

$ABC$ est un triangle tel que $AB=5$, $AC=6$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$. Alors $\vect{AB}.\vect{AC}$ est égal à :

a. $15\sqrt{2}$
b. $15\sqrt{3}$
c. $\dfrac{15}{2}$
d. $15$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}\\
&=5\times 6\times \cos \dfrac{\pi}{4} \\
&=30\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=15\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse a
$\quad$

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$\quad$

Question 2

$ABCD$ est un carré de centre $O$ tel que $AB=1$. Alors $\vect{AB}.\vect{OD}$ est égal à :

a. $1$
b. $0$
c. $-0,5$
d. $-1$

Correction Question 2

Dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD}\right)$ on a $A(0;0)$, $B(1;0)$, $D(0;1)$ et $O(0,5;0,5)$
Ainsi $\vect{AB}(1;0)$ et $\vect{OD}(-0,5;0,5)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{OD}&=1\times (-0,5)+0\times 0,5\\
&=-0,5\end{align*}$

Réponse c

Remarque : On pouvait aussi calculer la longueur $OD$ et déterminer la mesure de l’angle $\left(\vect{AB},\vect{OD}\right)$  et calculer le produit scalaire comme à la question précédente ou encore utiliser les projetés orthogonaux des points $O$ et $D$ sur la droite $(AB)$

$\quad$

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$\quad$

Question 3

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs orthogonaux tels que $\norme{\vec{u}}=2$ et $\norme{\vec{v}}=1$.
$\left(\vec{u}+\vec{v}\right).\left(2\vec{u}-\vec{v}\right)$ est égal à :

a. $6$
b. $9$
c. $13$
d. $7$

Correction Question 3

$\begin{align*} \left(\vec{u}+\vec{v}\right).\left(2\vec{u}-\vec{v}\right)&=2\vec{u}.\vec{u}-\vec{u}.\vec{v}+2\vec{v}.\vec{u}-\vec{v}.\vec{v} \\
&=2\norme{\vec{u}}^2-0+0-\norme{v}^2 \\
&=8-1\\
&=7\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$


$\quad$

On se place dans un repère orthonormé du plan.
Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative notée $C$ d’une fonction $f$ définie sur $\R$.
La droite $D$ est tangente à la courbe $C$ au point $A(5; 0)$.

Question 4

On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$. Alors $f'(5)$ est égal à :

a. $3$
b. $-3$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $-\dfrac{1}{3}$

Correction Question 4

$f'(5)$ est le coefficient directeur de la droite $D$.
Cette droite passe par le point $A(5;0)$ et $B(2;1)$.
Donc :
$\begin{align*} f'(5)&=\dfrac{1-0}{2-5} \\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty;0[$ on a :

a. $f'(x)\pp 0$
b. $f'(x)\pg 0$
c. $f(x)\pg 0$
d. $f(x)\pp 0$

Correction Question 5

La fonction $f$ change de sens de variation sur l’intervalle $]-\infty;0]$. Par conséquent $f'(x)$ change de signe sur cet intervalle. Cela exclut les réponses a. et b. .
Sur l’intervalle $]-\infty;0]$ la courbe $C$ est au-dessus de l’axe des abscisses. Donc $f'(x)\pg 0$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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