E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un artisan commence la pose d’un carrelage dans une grande
pièce.

Le carrelage choisi a une forme hexagonale.

L’artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis
procède en étapes successives de la façon suivante :

  • à l’étape $1$, il entoure le carreau central, à l’aide de $6$ carreaux et obtient une première forme.
  • à l’étape $2$ et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme précédemment construite.

On note $u_n$ le nombre de carreaux ajoutés par l’artisan pour faire la $n$-ième étape $(n\pg 1)$.

Ainsi $u_1 = 6$ et $u_2 = 12$.

  1. Quelle est la valeur de $u_3$ ?
    $\quad$
  2. On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $6$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Combien l’artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l’étape $5$ ? Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu’il termine l’étape $5$ (en comptant le carreau central
    initial) ?
    $\quad$
  4. On pose $S_n = u_1+u_2+\ldots+u_n$. Montrer que $S_n = 6(1 + 2 + 3 + \ldots + n)$ puis que $S_n = 3n^2 + 3n.$
    $\quad$
  5. Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l’artisan depuis le début, lorsqu’il termine la $n$ − 𝑖è𝑚𝑒 étape, est donc $3n^2 + 3n + 1$.
    À la fin de sa semaine, l’artisan termine la pose du carrelage en collant son $2~977\ieme$ carreau. Combien a-t-il fait d’étapes ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. En comptant le nombre de carreaux ajoutés à l’étape $3$ on obtient $u_3=18$
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $6$ et de premier terme $u_1=6$
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
    $\begin{align*}u_n&=6+6(n-1)  \\
    &=6n\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $u_5=6\times 5$ soit $u_5=30$.
    L’artisan a donc ajouté $30$ carreaux pour faire l’étape $5$.
    $\quad$
    Le nombre de carreaux posés est alors :
    $\begin{align*} N&=1+u_2+u_3+u_4+u_5 \\
    &=1+2+12+18+24+30 \\
    &=87\end{align*}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} S_n&=u_1+u_2+\ldots +u_n \\
    &=6+12+\ldots +6n\\
    &=6\times 1+6\times 2+\ldots+6n\\
    &=\boldsymbol{6(1+2+\ldots+n)} \\
    &=6\times \dfrac{n(n+1)}{2} \\
    &=3n(n+1)\\
    &=\boldsymbol{3n^2+3n}\end{align*}$
    $\quad$
  5. On cherche la valeur de $n$ telle que :
    $\begin{align*} 3n^2+3n+1=2~977&\ssi 3n^2+3n-2~976=0\\
    &\ssi n^2+n-992=0\end{align*}$
    Le discriminant du polynôme $P(x)=x^2+x-992$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times (-992)\\
    &=3~969\\
    &>0\end{align*}$
    Ce polynôme possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*}x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{3~969}}{2} \\
    &=-32\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*}x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{3~969}}{2} \\
    &=31\end{align*}$
    Or $-32<1$ donc $n=31$
    Il a donc fait $31$ étapes.
    $\quad$

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$\quad$

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