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E3C2 – 1ère

Un artisan commence la pose d’un carrelage dans une grande
pièce.

Le carrelage choisi a une forme hexagonale.

L’artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis
procède en étapes successives de la façon suivante :

à l’étape $1$, il entoure le carreau central, à l’aide de $6$ carreaux et obtient une première forme.
à l’étape $2$ et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme précédemment construite.

On note $u_n$ le nombre de carreaux ajoutés par l’artisan pour faire la $n$-ième étape $(n\pg 1)$.

Ainsi $u_1 = 6$ et $u_2 = 12$.

Quelle est la valeur de $u_3$ ?
$\quad$
On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $6$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Combien l’artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l’étape $5$ ? Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu’il termine l’étape $5$ (en comptant le carreau central
initial) ?
$\quad$
On pose $S_n = u_1+u_2+\ldots+u_n$. Montrer que $S_n = 6(1 + 2 + 3 + \ldots + n)$ puis que $S_n = 3n^2 + 3n.$
$\quad$
Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l’artisan depuis le début, lorsqu’il termine la $n$ − 𝑖è𝑚𝑒 étape, est donc $3n^2 + 3n + 1$.
À la fin de sa semaine, l’artisan termine la pose du carrelage en collant son $2~977\ieme$ carreau. Combien a-t-il fait d’étapes ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En comptant le nombre de carreaux ajoutés à l’étape $3$ on obtient $u_3=18$
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $6$ et de premier terme $u_1=6$
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
$\begin{align*}u_n&=6+6(n-1) \\
&=6n\end{align*}$
$\quad$
On a $u_5=6\times 5$ soit $u_5=30$.
L’artisan a donc ajouté $30$ carreaux pour faire l’étape $5$.
$\quad$
Le nombre de carreaux posés est alors :
$\begin{align*} N&=1+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5 \\
&=1+6+12+18+24+30 \\
&=91\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$\begin{align*} S_n&=u_1+u_2+\ldots +u_n \\
&=6+12+\ldots +6n\\
&=6\times 1+6\times 2+\ldots+6n\\
&=\boldsymbol{6(1+2+\ldots+n)} \\
&=6\times \dfrac{n(n+1)}{2} \\
&=3n(n+1)\\
&=\boldsymbol{3n^2+3n}\end{align*}$
$\quad$
On cherche la valeur de $n$ telle que :
$\begin{align*} 3n^2+3n+1=2~977&\ssi 3n^2+3n-2~976=0\\
&\ssi n^2+n-992=0\end{align*}$
Le discriminant du polynôme $P(x)=x^2+x-992$ est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times (-992)\\
&=3~969\\
&>0\end{align*}$
Ce polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*}x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{3~969}}{2} \\
&=-32\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*}x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{3~969}}{2} \\
&=31\end{align*}$
Or $-32<1$ donc $n=31$
Il a donc fait $31$ étapes.
$\quad$

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$\quad$

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