1. $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0= 25~000$ et de raison $0,94$.
   Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=25~000\times 0,94^n$.
   $\quad$
2. La somme des sept premiers termes de la suite $\left(U_n\right)$ est :
   $\begin{align*} S&=U_0+U_1+\ldots+U_6 \\
   &=25~000\times \dfrac{1-0,94^7}{1-0,94} \\
   &=146~467,669~1\end{align*}$
   $\quad$
3. On a $U_0=25~000$ et $V_0=5~200$
   Donc $U_0>V_0$
   $\quad$
   $U_{20}=25~000\times 0,94^{20} \approx 7252,66$
   $V_{20}=30~200$
   Donc $U_{20}<V_{20}$
   $\quad$
4. Voici les premières valeurs (arrondies) des suites $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$.
   $$\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   n &U_n& V_n\\
   \hline
   0 &25~000& 5~200\\
   \hline
   1& 23~500& 6~450\\
   \hline
   2& 22~090& 7~700\\
   \hline
   3& 20~764,6& 8~950\\
   \hline
   4& 19~518,724& 10~200\\
   \hline
   5& 18~347,600~56& 11~450\\
   \hline
   6& 17~246,744~53& 12~700\\
   \hline
   7& 16~211,939~85& 13~950\\
   \hline
   8& 15~239,223~46& 15~200\\
   \hline
   9& 14~324,870~06& 16~450\\
   \hline
   \end{array}$$
   Le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_n<V_n$ est donc $9$.
   $\quad$

Partie B

Le nombre de voitures avec un moteur diesel diminue chaque année de $6\%$. Ce nombre est donc multiplié, chaque année, par $0,94$.
Ainsi la suite $\left(U_n\right)$ de la partie A représente le nombre de voitures avec un moteur diesel vendues l’année 1995$+n$.

Le nombre de véhicules avec un moteur essence vendu l’année 1995$+n$ est représenté par la suite $\left(W_n\right)$. Il s’agit d’une suite arithmétique de raison $1~250$ et de premier terme $5~200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a :
$\begin{align*} W_n&=5~200+1~250n\\
&=50(104+25n)\\
&=V_n\end{align*}$

D’après la question A.4. $U_n<V_n$ pour $n\pg 9$.
C’est donc à partir de l’année 2004 que les ventes de voitures avec un moteur essence ont dépassé les ventes de voitures avec un moteur diesel.

$\quad$