E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Partie A :

$\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0= 25~000$ et de raison $0,94$.

$\left(V_n\right)$ est une suite définie par : $V_n = 50 ( 104 + 25 n)$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Déterminer une forme explicite de la suite $\left(U_n\right)$.
    $\quad$
  2. Calculer la somme des sept premiers termes de la suite $\left(U_n\right)$.
    $\quad$
  3. Comparer les termes $U_0$ et $V_0$ puis $U_{20}$ et $V_{20}$.
    $\quad$
  4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_n<V_n$.
    $\quad$

Partie B :

Un concessionnaire de voitures propose des voitures équipées d’un moteur diesel ou d’un moteur essence.
Durant sa première année d’existence en 1995, il a vendu $25~000$ véhicules avec un moteur diesel et $5~200$ véhicules avec un moteur essence.
Ses ventes de voitures avec un moteur diesel ont diminué de 6 % chaque année, alors que ses ventes de voitures avec un moteur essence ont augmenté de $1~250$ unités tous les ans.

En quelle année les ventes de voitures avec un moteur essence ont elles dépassé les ventes de voitures avec un moteur diesel ?

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0= 25~000$ et de raison $0,94$.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=25~000\times 0,94^n$.
    $\quad$
  2. La somme des sept premiers termes de la suite $\left(U_n\right)$ est :
    $\begin{align*} S&=U_0+U_1+\ldots+U_7 \\
    &=25~000\times \dfrac{1-0,94^7}{1-0,94} \\
    &=146~467,669~1\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $U_0=25~000$ et $V_0=5~200$
    Donc $U_0>V_0$
    $\quad$
    $U_{20}=25~000\times 0,94^{20} \approx 7252,66$
    $V_{20}=30~200$
    Donc $U_{20}<V_{20}$
    $\quad$
  4. Voici les premières valeurs (arrondies) des suites $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    n &U_n& V_n\\
    \hline
    0 &25~000& 5~200\\
    \hline
    1& 23~500& 6~450\\
    \hline
    2& 22~090& 7~700\\
    \hline
    3& 20~764,6& 8~950\\
    \hline
    4& 19~518,724& 10~200\\
    \hline
    5& 18~347,600~56& 11~450\\
    \hline
    6& 17~246,744~53& 12~700\\
    \hline
    7& 16~211,939~85& 13~950\\
    \hline
    8& 15~239,223~46& 15~200\\
    \hline
    9& 14~324,870~06& 16~450\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_n<V_n$ est donc $9$.
    $\quad$

Partie B

Le nombre de voitures avec un moteur diesel diminue chaque année de $6\%$. Ce nombre est donc multiplié, chaque année, par $0,94$.
Ainsi la suite $\left(U_n\right)$ de la partie A représente le nombre de voitures avec un moteur diesel vendues l’année 1995$+n$.

Le nombre de véhicules avec un moteur essence vendu l’année 1995$+n$ est représenté par la suite $\left(W_n\right)$. Il s’agit d’une suite arithmétique de raison $1~250$ et de premier terme $5~200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a :
$\begin{align*} W_n&=5~200+1~250n\\
&=50(104+25n)\\
&=V_n\end{align*}$

D’après la question A.4. $U_n<V_n$ pour $n\pg 9$.
C’est donc à partir de l’année 2004 que les ventes de voitures avec un moteur essence ont elles dépassé les ventes de voitures avec un moteur diesel.

$\quad$

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$\quad$

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