E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une balle est lâchée d’une hauteur de $3$ mètres au-dessus du sol. Elle touche le sol et rebondit. À chaque rebond, la balle perd $25 \%$ de sa hauteur précédente.

On modélise la hauteur de la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où $h_n$ désigne la hauteur maximale de la balle, en mètres, après le $n$-ième rebond. On a donc $h_0= 3$.

  1. Calculer $h_1$ et $h_2$.
    $\quad$
  2. La suite $\left(h_n\right)$ est-elle arithmétique ? Justifier.
    $\quad$
  3. Donner la nature de la suite $\left(h_n\right)$ en précisant ses éléments caractéristiques.
    $\quad$
  4. Déterminer la hauteur, arrondie au cm, de la balle après $6$ rebonds.
    $\quad$
  5. La fonction « $\text{seuil}$ » est définie ci-dessous en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{h}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\textcolor{brown}{\ldots\ldots\ldots\ldots :}\\
    5&\hspace{2cm}\text{h}\textcolor{brown}{=\ldots\ldots\ldots\ldots }\\
    6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emeral}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les lignes $4$ et $5$ pour que cette fonction renvoie le nombre de rebonds à partir duquel la hauteur maximale de la balle sera inférieure ou égale à $10$ centimètres.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} h_1&=\left(1-\dfrac{25}{100}\right)h_0 \\
    &=0,75\times 3\\
    &=2,25\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} h_2&=\left(1-\dfrac{25}{100}\right)h_1 \\
    &=0,75\times 2,25\\
    &=1,687~5\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $h_1-h_0=-0,75$ et $h_2-h_1=-0,562~5$
    Ces valeurs sont différentes. La suite $\left(h_n\right)$ n’est donc pas arithmétique.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} h_{n+1}&=\left(1-\dfrac{25}{100}\right)h_n \\
    &=0,75\times h_n\end{align*}$
    La suite $\left(h_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $h_0=3$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $h_n=3\times 0,75^n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} h_6&=3\times 0,75^6 \\
    &\approx 0,53\end{align*}$
    Après $6$ rebonds la hauteur de la balle est environ égale à $0,53$m.
    $\quad$
  5. On a la fonction suivante :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{h}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{n}\textcolor{brown}{>}\textcolor{Emerald}{10}\text{ :}\\
    5&\hspace{2cm}\text{h}\textcolor{brown}{=}\text{h}\textcolor{brown}{*}\textcolor{Emerald}{0.75}\\
    6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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