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E3C2 – 1ère

Désirant participer à une course de $150$ km, un cycliste prévoit l’entraînement suivant :

parcourir $30$ km en première semaine ;
chaque semaine qui suit, augmenter la distance parcourue de $9\%$ par rapport à celle parcourue la semaine précédente.

On modélise la distance parcourue chaque semaine à l’entrainement par la suite $\left(d_n\right)$ où $d_n$ représente la distance en km parcourue pendant la $n$-ième semaine d’entraînement.
On a ainsi $d_1=30$.

Prouver que $d_3=35,643$.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ? Justifier.
$\quad$
En déduire l’expression de $d_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On considère la fonction définie de la façon suivante en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textcolor{Emerald}{1}\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{distance(k):}\\
\textcolor{Emerald}{2}\hspace{1cm}\text{d=}\textcolor{Green}{30}\\
\textcolor{Emerald}{3}\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{1}\\
\textcolor{Emerald}{4}\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d<=k:}\\
\textcolor{Emerald}{5}\hspace{1.5cm}\text{d=d*}\textcolor{Green}{1.09}\\
\textcolor{Emerald}{6}\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
\textcolor{Emerald}{7}\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle information est obtenue par le calcul de $\text{distance(150)}$ ?
$\quad$
Calculer la distance totale parcourue par le cycliste pendant les $20$ premières semaines d’entraînement.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} d_2&=\left(1+\dfrac{9}{100}\right)d_1 \\
&=1,09\times 30\\
&=32,7\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} d_3&=\left(1+\dfrac{9}{100}\right)d_2 \\
&=1,09\times 32,7\\
&=35,643\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1+\dfrac{9}{100}\right)d_n \\
&=1,09\times d_n\end{align*}$
La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,09$ et de premier terme $d_1=30$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $d_n=30\times 1,09^{n-1}$.
$\quad$
$\text{distance(150)}$ renvoie le nombre minimum de semaines nécessaires pour que le cycliste parcourt plus de $150$ km pendant une semaine d’entraînement.
$\quad$
On veut donc calculer :
$\begin{align*} S&=u_1+u_2+\ldots+u_{20} \\
&=30\times \dfrac{1-1,09^{20}}{1-1,09}\\
&\approx 1~534,804\end{align*}$
Le cycliste va parcourir environ $1~534,804$ km pendant les $20$ premières semaines d’entraînement.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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