E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Lors du lancement d’un hebdomadaire, $1~200$ exemplaires ont été vendus.
Une étude de marché prévoit une progression des ventes de $2 \%$ chaque semaine.
On modélise le nombre d’hebdomadaires vendus par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus durant la $n$-ième semaine après le début de l’opération.

On a donc $u_0 = 1~200$.

  1. Calculer le nombre $u_2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Écrire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Voici un programme rédigé en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite( ):}\\
    \quad \text{u = 1200}\\
    \quad \text{S = 1200}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{while S < 30000 :} \hspace{2cm}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \qquad \text{u = u * 1.02}\\
    \qquad \text{S = S + u}\\
    \quad \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le programme retourne la valeur $20$.
    Attention : il y a des coquilles dans le sujet original pour cette question. Elles ont été corrigées ici.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Déterminer le nombre total d’hebdomadaires vendus au bout d’un an.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_0\\
    &=1,02u_0\\
    &=1~224\end{align*}$
    Et :
    $\begin{align*} u_2&=1,02u_n \\
    &=1~248,48\end{align*}$
    Cela signifie donc que la deuxième semaine après le début de l’opération environ $1~248$ journaux seront vendus.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,02u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=1~200$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=1~200\times 1,02^n$.
    $\quad$
  3. Cela signifie qu’il faut $20$ semaines pour que le nombre cumulé de journaux vendus dépasse $30~000$ exemplaires.
    $\quad$
  4. Au bout d’un an, soit $52$ semaines, le nombre total d’hebdomadaires vendus est :
    $\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots +u_{52}\\
    &=1~200\times \dfrac{1-1,02^{53}}{1-1,02} \\
    &\approx 111~380\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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