Nouvelle Calédonie – Novembre 2015

Bac S – Mathématiques – Enoncé

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 7 points

Une usine produit de l’eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieur à $6,5$ mg par litre, on dit que l’eau de cette bouteille est très peu calcaire.

Dans cet exercice les résultats approchés seront arrondis au millième.

Partie A

L’eau minérale provient de deux sources, notées “source A” et “source B”.

La probabilité que l’eau d’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source A soit très peu calcaire est $0,17$. La probabilité que l’eau d’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B soit très peu calcaire est $0,10$.

La source A fournit $70\%$ de la production quotidienne totale des bouteilles d’eau et la source B le reste de cette production.

On prélève au hasard une bouteille d’eau dans la production totale de la journée. On considère les événements suivants :

• $A$ : “La bouteille d’eau provient de la source A”
• $B$ : “La bouteille d’eau provient de la source B”
• $S$ : “L’eau contenue dans la bouteille d’eau est très peu calcaire”.

Déterminer la probabilité de l’événement $A \cap S$.
$\quad$
Montrer que la probabilité de l’événement $S$ vaut $0,149$.
$\quad$
Calculer la probabilité que l’eau contenue dans une bouteille provienne de la source A sachant qu’elle est très peu calcaire.
$\quad$
Le lendemain d’une forte pluie, l’usine prélève un échantillon de $1~000$ bouteilles provenant de la source A. Parmi ces bouteilles, $211$ contiennent de l’eau très peu calcaire.
Donner un intervalle permettant d’estimer au seuil de $95\%$ la proportion de bouteilles contenant de l’eau très peu calcaire sur l’ensemble de la production de la source A après cette intempérie.
$\quad$

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source A, associe le taux de calcium de l’eau qu’elle contient. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $8$ et d’écart-type $1,6$.
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B, associe le taux de calcium qu’elle contient. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $9$ et d’écart-type $\sigma$.

Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d’une journée de la source A soit compris entre $6,4$ mg et $9,6$ mg.
$\quad$
Calculer la probabilité $p(X \leqslant 6,5)$.
$\quad$
Déterminer $\sigma$ sachant que la probabilité qu’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B contienne de l’eau très peu calcaire est $0,1$.
$\quad$

Partie C

Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bouteilles la forme représentée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan.
La forme de ces étiquettes est délimitée par l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$ d’équation $y = a\cos x$ avec $x \in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ et $a$ un réel strictement positif.

Un disque situé à l’intérieur est destiné à recevoir les informations données aux acheteurs. On considère le disque de centre le point A de coordonnées $\left(0;\dfrac{a}{2}\right)$ et de rayon $\dfrac{a}{2}$. On admettra que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe $\mathscr{C}$ pour des valeurs de $a$ inférieures à $1,4$.

Justifier que l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, les droites d’équation $x = – \dfrac{\pi}{2}$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$, et la courbe $\mathcal{C}$ est égale à $2a$ unités d’aire.
$\quad$
Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l’aire du disque soit égale à l’aire de la surface grisée. Quelle valeur faut-il donner au réel $a$ pour respecter cette contrainte ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 3 points

Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par $$f_a(x) = \e^{x – a} – 2x + \e^{a}.$$

Montrer que pour tour réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.
$\quad$
Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
$\quad$

Exercice 3 5 points

Soient $x,y$ et $z$ trois nombres réels. On considère les implications $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ suivantes :

$$\left(P_1\right)\qquad (x + y + z = 1) \Rightarrow \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right)$$

$$\left(P_2\right) \qquad \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right) \Rightarrow (x + y + z = 1)$$

Partie A

L’implication $\left(P_2\right)$ est-elle vraie ?
$\quad$

Partie B

Dans l’espace, on considère le cube $ABCDEFGH$, représenté ci-dessous, et on définit le

repère orthonormé $\left(A; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE}\right)$.

a. Vérifier que le plan d’équation $x + y + z = 1$ est le plan $(BDE)$.
$\quad$
b. Montrer que la droite ($AG$) est orthogonale au plan $(BDE)$.
$\quad$
c. Montrer que l’intersection de la droite $(AG)$ avec le plan $(BDE)$ est le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$
Le triangle $BDE$ est-il équilatéral?
$\quad$
Soit $M$ un point de l’espace.
$\quad$
a. Démontrer que si $M$ appartient au plan $(BDE)$, alors $AM^2 = AK^2 + MK^2$.
$\quad$
b. En déduire que si $M$ appartient au plan $(BDE)$, alors $AM^2 \geqslant AK^2$.
$\quad$
c. Soient $x,y$ et $z$ des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question précédente au point $M$ de coordonnées $(x;y;z)$, montrer que l’implication $\left(P_1\right)$ est vraie.
$\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ $$\begin{cases} d_{n+1}=\dfrac{1}{2}d_n+100\\a_{n+1}=\dfrac{1}{2}d_n+\dfrac{1}{2}a_n+70\end{cases}$$

Calculer $d_1$ et $a_1$.
$\quad$
On souhaite écrire un algorithme qui permet d’afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et $a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l’utilisateur.
L’algorithme suivant est proposé :
Variables :
$\quad$ $n$ et $k$ sont des entiers naturels
$\quad$ $D$ et $A$ sont des réels
Initialisation :
$\quad$ $D$ prend la valeur $300$
$\quad$ &$A$ prend la valeur $450$
$\quad$ Saisir la valeur de $n$
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $n$
$\qquad$ $D$ prend la valeur $\dfrac{D}{2} + 100$
$\qquad$ $A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70$
$\quad$ Fin pour
Sortie :
$\quad$ Afficher $D$
$\quad$ Afficher $A$
$\quad$
a. Quels nombres obtient-on en sortie de l’algorithme pour $n = 1$ ?
Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1. ?
$\quad$
b. Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu’il affiche les résultats souhaités.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n-200$.
Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.
$\quad$
b. En déduire l’expression de $d_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.
$\quad$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $$a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.$$
a. Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $3$, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.
$\quad$
b. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, $2^n \geqslant n^2$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$.
$\quad$
d. Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.
$\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un organisme propose un apprentissage de langues étrangères en ligne. Deux niveaux sont présentés : débutant ou avancé. Au début de chaque mois, un internaute peut s’inscrire, se désinscrire ou changer de niveau.
On souhaite étudier l’évolution sur le long terme, de la fréquentation du site à partir d’un mois noté $0$.
Des relevés de la fréquentation du site ont conduit aux observations suivantes :

Au début du mois $0$, il y avait $300$ internautes au niveau débutant et $450$ au niveau avancé.
Chaque mois, la moitié des débutants passe au niveau avancé, l’autre moitié reste au niveau débutant et la moitié des avancés ayant terminé leur formation, se désinscrit du site.
Chaque mois, $100$ nouveaux internautes s’inscrivent en débutant et $70$ en avancé.

On modélise cette situation par deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$. Pour tour entier naturel $n,d_n$ et $a_n$ sont respectivement des approximations du nombre de débutants et du nombre d’avancés au début du mois $n$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}d_n\\a_n\end{pmatrix}$.
On pose $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier $n \geqslant 0$ $$\begin{cases} d_{n+1} =\dfrac{1}{2}d_n + 100\\a_{n+1}=\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70\end{cases}$$

a. Justifier l’égalité $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70$ dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
b. Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que pour tout entier naturel $n$, $$U_{n+1} = AU_n + B.$$
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a
$$A^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2 + nT \right)\quad \text{où } T = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \text{et } I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$
a. Déterminer la matrice $C$ qui vérifie l’égalité $C = AC + B$.
$\quad$
b. Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $V_n = U_n – \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$.
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$V_{n+1} = AV_n$$
$\quad$
c. On admet que pour tout entier $n \geqslant 1$, $V_n = A^nV_0$.
En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $$U_n = \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 200\\100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340 \end{pmatrix}$$
$\quad$
a. On admet que pour tout entier $n \geqslant 4$, $2^n \geqslant n^2$.
En déduire que pour tout entier $n \geqslant 4$, $$0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}.$$
$\quad$
b. En utilisant les questions précédentes, que peut-on prévoir pour l’évolution de la fréquentation du site sur le long terme ?
$\quad$