Distributivité

Enchaînement d’opérations

On considère trois nombres $a$, $b$ et $k$. On a alors $$k\times (a+b)=k\times a+k\times b$$
Cette formule peut être lue de gauche à droite. On dit alors qu’on développe l’expression. Elle peut également être lue de droite à gauche et on dit alors qu’on a factorisé l’expression.

Exemples :
$\bullet \quad 5\times (12+2)=5\times 12+5\times 2$
$\bullet \quad 1,2\times 4+1,2\times 6=1,2\times (4+6)$

Remarque : On a également $k\times (a-b)=k\times a-k\times b$

$\quad$

Exercice 1

Développer (sans calculer le résultat final) les expressions suivantes :

$A=2\times (5,3+4,8)$

$B=3\times (5,6-4,3)$

$C=3,1\times (3+4,1)$

$D=(5,6-4,1)\times 11$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=2\times (5,3+4,8) \\
&=2\times 5,3+2\times 4,8\end{align*}$

$\begin{align*}B&=3\times (5,6-4,3) \\
&=3\times 5,3-3\times 4,3\end{align*}$

$\begin{align*}C&=3,1\times (3+4,1) \\
&=3,1\times 3+3,1\times 4,1\end{align*}$

$\begin{align*}D&=(5,6-4,1)\times 11 \\
&=5,6\times 11-4,1\times 11\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Factoriser et simplifier (sans calculer le résultat final) les expressions suivantes.

$A=32\times 29,7+6\times 29,7$

$B=17\times 49,3+21\times 49,3$

$C=53,7\times 76-53,7\times 15$

$D=204\times 351-251\times 204$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=32\times 29,7+6\times 29,7 \\
&=(32+6)\times 29,7\end{align*}$

$\begin{align*}B&=17\times 49,3+21\times 49,3 \\
&=(17+21)\times 49,3\end{align*}$

$\begin{align*}C&=53,7\times 76-53,7\times 15 \\
&=53,7\times (76-15)\end{align*}$

$\begin{align*}D&=204\times 351-251\times 204 \\
&=204\times (351-251)\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 3

Calculer en respectant les priorités des parenthèses sans développer.
$A=7\times (5+10)$
$B=(100+3)\times 8$
$C=9\times (100-5)$
$D=(20-2)\times 3$
$\quad$
Développer puis calculer à nouveau les expressions $A$, $B$, $C$ et $D$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\quad$
$\begin{align*}A&=7\times (5+10) \\
&=7\times 15 \\
&=105\end{align*}$
$\begin{align*}B&=(100+3)\times 8 \\
&=103\times 8\\
&=824\end{align*}$
$\begin{align*}C&=9\times (100-5) \\
&=9\times 95 \\
&=855\end{align*}$
$\begin{align*}D&=(20-2)\times 3 \\
&=18\times 3 \\
&=54\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}A&=7\times (5+10) \\
&=7\times 5+7\times 10 \\
&=35+70 \\
&=105\end{align*}$
$\begin{align*}B&=(100+3)\times 8 \\
&=100\times 8+3\times 8 \\
&=800+24 \\
&=824\end{align*}$
$\begin{align*}C&=9\times (100-5) \\
&=9\times 100-9\times 5 \\
&=900-45 \\
&=855\end{align*}$
$\begin{align*}D&=(20-2)\times 3 \\
&=20\times 3-2\times 3 \\
&=60-6 \\
&=54\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 4

Calculer en respectant les priorités des parenthèses sans factoriser.
$A=4\times 3+4\times 7$
$B=0,3\times 3+1,7\times 3$
$C=7\times 5,5-7\times 2,5$
$D=14\times 8,6-4\times 8,6$
$\quad$
Factoriser puis calculer à nouveau les expressions $A$, $B$, $C$ et $D$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\quad$
$\begin{align*}A&=4\times 3+4\times 7 \\
&=12+28 \\
&=40\end{align*}$
$\begin{align*}B&=0,3\times 3+1,7\times 3 \\
&=0,9+5,1 \\
&=6\end{align*}$
$\begin{align*}C&=7\times 5,5-7\times 2,5 \\
&=38,5-17,5 \\
&=21\end{align*}$
$\begin{align*}D&=14\times 8,6-4\times 8,6 \\
&=120,4-34,4 \\
&=86\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}A&=4\times 3+4\times 7 \\
&=4\times (3+7) \\
&=4\times 10 \\
&=40\end{align*}$
$\begin{align*}B&=0,3\times 3+1,7\times 3 \\
&=(0,3+1,7)\times 3 \\
&=2\times 3 \\
&=6\end{align*}$
$\begin{align*}C&=7\times 5,5-7\times 2,5 \\
&=7\times (5,5-2,5) \\
&=7\times 3 \\
&=21\end{align*}$
$\begin{align*}D&=14\times 8,6-4\times 8,6 \\
&=(14-4)\times 8,6 \\
&=10\times 8,6 \\
&=86\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Calculer de deux façons différentes :

$A=5\times (21+3)$

$B=8\times 5+3\times 8$

$\quad$

Correction Exercice 5

Méthode 1

$\begin{align*}A&=5\times (21+3) \\
&=5\times 24 \\
&=120\end{align*}$

$\begin{align*} B&=8\times 5+3\times 8 \\
&=8\times (5+3)\\
&=8\times 8 \\
&=64\end{align*}$

Méthode 2

$\begin{align*}A&=5\times (21+3) \\
&=5\times 21+5\times 3 \\
&=105+15 \\
&=120\end{align*}$

$\begin{align*}B&=8\times 5+3\times 8 \\
&=40+24 \\
&=64\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Calculer le plus simplement possible :

$A=6,5\times 13-6,5\times 3$

$B=87\times 7+3\times 87$

$C=57\times 141+43\times 141$

$D=13\times 2,1+13\times 7,8+13\times 0,1$

$E=36\times 7+36\times 3$

$F=4,1\times 0,2+0,8\times 4,1$

$G=104\times 9,2-9,2\times 4$

$H=6\times 5+6\times 7-6\times 2$

$\quad$

Correction Exercice 6

$\begin{align*}A&=6,5\times 13-6,5\times 3 \\
&=6,5\times (13-3) \\
&=6,5\times 10 \\
&=65\end{align*}$

$\begin{align*}B&=87\times 7+3\times 87 \\
&=87\times (7+3) \\
&=87\times 10 \\
&=870\end{align*}$

$\begin{align*}C&=57\times 141+43\times 141 \\
&=(57+43)\times 141 \\
&=100\times 141 \\
&=14~100\end{align*}$

$\begin{align*}D&=13\times 2,1+13\times 7,8+13\times 0,1 \\
&=13\times (2,1+7,8+0,1) \\
&=13\times 10 \\
&=130\end{align*}$

$\begin{align*}E&=36\times 7+36\times 3 \\
&=36\times (7+3) \\
&=36\times 10 \\
&=360\end{align*}$

$\begin{align*}F&=4,1\times 0,2+0,8\times 4,1 \\
&=4,1\times (0,2+0,8) \\
&=4,1\times 1 \\
&=4,1\end{align*}$

$\begin{align*}G&=104\times 9,2-9,2\times 4 \\
&=9,2\times (104-4) \\
&=9,2\times 100 \\
&=920\end{align*}$

$\begin{align*}H&=6\times 5+6\times 7-6\times 2 \\
&=6\times (5+7-2) \\
&=6\times 10 \\
&=60\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

À l’aide de la distributivité calculer les expressions suivantes sans poser de multiplication.

$A=44\times 19$

$B=2,5\times 99$

$C=123\times 11$

$D=54,2\times 101$

$E=24\times 22$

$F=199\times 12$

$G=99\times 13$

$H=102\times 15$

$\quad$

Correction Exercice 7

$\begin{align*}A&=44\times 19 \\
&=44\times (20-1) \\
&=44\times 20-44\times 1 \\
&=880-44 \\
&=836\end{align*}$

$\begin{align*}B&=2,5\times 99 \\
&=2,5\times (100-1) \\
&=2,5\times 100-2,5\times 1 \\
&=250-2,5 \\
&=247,5\end{align*}$

$\begin{align*}C&=123\times 11 \\
&=123\times (10+1) \\
&=123\times 10+123\times 1 \\
&=1~230+123 \\
&=1~353\end{align*}$

$\begin{align*}D&=54,2\times 101 \\
&=54,2\times (100+1) \\
&=54,2\times 100+54,2\times 1 \\
&=5~420+54,2 \\
&=5~474,2\end{align*}$

$\begin{align*}E&=24\times 22 \\
&=24\times (20+2) \\
&=24\times 20+24\times 2 \\
&=480+48 \\
&=528\end{align*}$

$\begin{align*}F&=199\times 12 \\
&=(200-1)\times 12 \\
&=200\times 12-1\times 12 \\
&=2~400-12 \\
&=2~388\end{align*}$

$\begin{align*}G&=99\times 13 \\
&=(100-1)\times 13 \\
&=100\times 13-1\times 13 \\
&=1~300-13 \\
&=1~287\end{align*}$

$\begin{align*}H&=102\times 15 \\
&=(100+2)\times 15 \\
&=100\times 15+2\times 15 \\
&=1~500+30 \\
&=1~530\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$