Exercices – TES/TL – Intégration et études de fonctions

Intégration et étude de fonctions

Exercice 1     Pondichéry 2017  

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.
Celui-ci présente dans un repère d’origine $O$ la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$.

  1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l’équation $f(x) = 10$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
  2. Donner le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
    $\quad$
  3. La valeur de l’intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\dx$ appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?
    a. $[9;17]$
    b. $[18;26]$
    c. $[27;35]$
    $\quad$

Partie B

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$ d’expression: $$f(x) = 2x\e^{-x+3}$$

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;7]$, $f'(x) = (-2x+2)\e^{-x+3}$.
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;7]$ puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
    b. Calculer le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’équation $f(x) = 10$ admet deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$ que l’on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
    $\quad$
    b. On admet que $\alpha \approx 0,36$ à $10^{-2}$ près.
    Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;7]$ par: $$F(x) = (-2x-2)\e^{-x+3}$$
    a. Justifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan délimité par les droites d’équation $x = 1$, $x = 3$, l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d’objets ($x$ compris entre $0$ et $7$).
    a. Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets.
    $\quad$
    b. L’entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
    Déterminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
    $\quad$

Annexe (n’est pas à rendre avec la copie)

$\quad$

Correction Exercice 1

Partie A

  1. Graphiquement les deux solutions, $x_1$ et $x_2$, de l’équation $f(x)=10$ sur l’intervalle $[0;7]$ sont telles que :
    $0<x_1<1$ et $2<x_2<3$
    $\quad$
  2. Le maximum de la fonction $f$ vaut environ $14,8$ et il est atteint pour $x=1$.
    $\quad$
  3. L’intégrale correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=3$.

    Elle est donc supérieure à l’aire du trapèze : $\dfrac{(14+6)\times 2}{2}=20$ u.a. et inférieure à la somme des aires des deux rectangles $15\times 1+11\times 1 =26$.
    Donc la valeur de l’intégrale appartient à l’intervalle $[18;26]$ Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. $f'(x)=2\e^{-x+3}-2x\e^{-x+3}=(2-2x)\e^{-x+3}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2-2x$.
    $2-2x=0 \ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    b. Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ est $2\e^2$.
    $\quad$
  3. a. Sur l’intervalle $[0;1]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
    $f(0)=0<10$ et $f(1)=2e^{2}>10$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;7]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
    $f(1)=2e^{2}>10$ et $f(7)=14\e^{-4}<10$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;7]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=10$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice on trouve $\beta \approx 2,16$.
    $\quad$
  4. a. $F'(x)=-2\e^{-x+3}-(-2x-2)\e^{-x+3}=(-2+2x+2)\e^{-x+3}=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. La valeur de l’aire du domaine est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle \int_1^3 f(x)\dx \\
    &=F(3)-F(1)\\
    &=-8+4\e^{2} \text{u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. a. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{3-1}\int_1^3 f(x)\dx\\
    &=\dfrac{4\e^2-8}{2}\\
    &\approx 10,778
    \end{align*}$
    Par conséquent la valeur moyenne du bénéfice lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets est $10~778$ euros.
    $\quad$
    b. On cherche donc à résoudre l’inéquation $f(x) > 10$.
    D’après la question 3.a. la solution est $]\alpha;\beta[$.
    L’entreprise doit donc vendre entre $36$ et $216$ objets pour que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2    Centres étrangers 2017

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-20;20]$ par $f(x) = (-2x+30)\e^{0,2x-3}$.

  1. a. Montrer que $f’ (x) = (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[- 20;20]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[- 20; 20]$ .
    On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, sur l’intervalle $[-20;20]$, l’équation $f(x) = – 2$ admet une unique solution $\alpha$.
    $\quad$
    b. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,1$.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous:
    $\begin{array}{|c|lr|}
    \hline
    1 &\text{Dériver } (-10x+200)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-2x+30)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    2 &\text{Dériver } (-2x+30)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    3 &\text{Dériver } (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    \end{array}$
    Répondre aux deux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel:
    a. Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{10}^{15} f(x)\dx$.
    $\quad$
    b. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser l’abscisse du point d’inflexion.
    $\quad$

Partie B

Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l’intervalle $[0;10]$. Le point $B$ représente le départ de la nouvelle piste et le point $A$ représente la station de ski où se trouve l’arrivée.

 


Le réel $x$ représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et $f(x)$ représente l’altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point $M$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M$. Par exemple, une pente de $15\%$ en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de $\dfrac{15}{100} = 0,15$.

  1. On appelle dénivelé d’une piste de ski, la différence d’altitude entre le point de départ et le point d’arrivée de cette piste. Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre.
    $\quad$
  2. La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente.
    $\bullet$ La piste sera classée noire, c’est-à-dire très difficile, si au moins une portion de la piste a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    $\bullet$ La piste sera classée rouge, c’est-à-dire difficile, si au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre $25\%$ et $40\%$ (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à $40\%$).
    $\bullet$ Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à $25\%$ alors la piste sera classée bleue, c’est-à-dire facile.
    Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-20;20]$ comme composée et produit de fonctions dérivables.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\e^{0,2x-3}+(-2x+30)\times 0,2\e^{0,2x-3} \\
    &=\left(-2+0,2(-2x+30)\right)\e^{0,2x-3} \\
    &=(-2-0,4x+6)\e^{0,2x-3}\\
    &=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-0,4x+4)$.
    $-0,4x+4=0 \ssi -0,4x=-4 \ssi x=10$
    $-0,4x+4 \pg 0 \ssi -0,4x \pg -4 \ssi x \pp 10$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $f(-20)=70\e^{-7}$
    $f(10)=10\e^{-1}$
    $f(20)=-10\e$
    $\quad$
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est donc $10\e^{-1}$
    $\quad$
  2. a. On a $f(-20)=70\e^{-7}>0$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-20;10]$. Par conséquent $f(x)\pg f(-20)>0$ sur cet intervalle et l’équation $f(x)=-2$ ne possède pas de solution sur l’intervalle $[-20;10]$.
    La fonction $f$ est strictement décroissante et continue sur l’intervalle $[10;20]$.
    $f(10)>-2$ et $f(20) \approx -27,2<-2$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=-2$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[10;20]$.
    Par conséquent, l’équation $f(x)=-2$ possède une unique solution sur l’intervalle $[-20;20]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice, on trouve $15,8< \alpha < 15,9$.
    $\quad$
  3. a. D’après les résultats fournis, une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=(-10x+200)\e^{0,2x-3}$
    $\begin{align*} \displaystyle \int_{10}^{15}f(x)\dx &=F(15)-F(10) \\
    &=50-100\e^{-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après les résultats fournis on a $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent :
    $\begin{align*} f^{\prime\prime}(x) \pg 0 &\ssi -0,08x+0,4 \pg 0 \\
    &\ssi -0,08x \pg -0,4 \\
    &\ssi  x \pp 5
    \end{align*}$
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[-20;5]$ et concave sur l’intervalle $[5;20]$.
    L’abscisse du point d’inflexion est par conséquent $5$.
    $\quad$

Partie B

  1. Le dénivelé est donc :
    $\begin{align*} d&=f(10)-f(0) \\
    &=10\e^{-1}-30\e^{-3} \\
    &\approx 2,185 \text{km}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $f'(x)=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ et $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    A l’aide de la question on peut construire le tableau de variation de la fonction $f’$ suivant :

    Or $f'(5)=2\e^{-2} \approx 0,27$.
    La pente maximale est donc d’environ $27\%$.
    Ainsi une portion de la pente a une pente strictement compris entre $25\%$ et $40\%$ et aucune portion n’a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    La piste sera donc classée rouge.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3    Métropole septembre 2017

Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d’une enceinte est de $300$ euros.
On note $x$ le prix de vente en centaines d’euros d’une enceinte.
Une étude de marché permet de modéliser la situation : pour tout réel $x$ de l’intervalle $[3;10]$, si le prix de vente d’une enceinte est $x$ centaines d’euros, alors le nombre d’acheteurs est modélisé par : $$f(x)=e^{-0,25x+5}$$
Ainsi, $f(x)$ est une approximation du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de $x$ centaines d’euros.
Par exemple, si le prix de vente d’une enceinte est fixé à $400$ euros, le nombre d’acheteurs est approché par $f(4)$.

  1. Donner une valeur approximative du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros.
    On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.
    $\quad$
  2. Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de $400$ euros par enceinte?
    On note $g(x)$ la marge brute, en centaines d’euros, réalisée par l’entreprise pour un prix de vente de $x$ centaines d’euros par enceinte.
    $\quad$
  3. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;10]$, $$g(x)=(x-3)\e^{-0,25x+5}$$
    $\quad$
  4. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{factoriser(dériver}\left[(x-3)*\exp(-0,25x+5)\right] \\
    \hline
    \hspace{3cm} -\dfrac{x-7}{4}\e^{-\frac{1}{4}x+5} \\
    \hline
    \end{array}$
    a. En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;10]$.
    $\quad$
    b. Pour quel prix de vente unitaire l’entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l’euro près.
    $\quad$
  5. Soit $G$ la fonction telle que $G(x)=(-4x-4)\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ de $[3;10]$.
    a. Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. On pose $I=\ds \int_3^{10} g(x)\dx$. Déterminer la valeur exacte de $I$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(4)=\e^{-0,25\times 4+5}=\e^{4} \approx 54,60$
    On peut donc prévoir environ $55$ acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros.
    $\quad$
  2. La marge brute, si le prix de vente est de $40$ euros, est $55*400-300\times 55=5~500$ euros.
    $\quad$
  3. Si $x$ appartient à l’intervalle $[3;10]$ alors :
    $\begin{align*} g(x)&=xf(x)-3f(x) \\
    &=(x-3)f(x) \\
    &=(x-3)\e^{-0,25x+5}
    \end{align*}$
  4. a. D’après l’affichage du calcul formel on a $g'(x)=-\dfrac{x-7}{4}\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;10]$.
    La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $g'(x)$ ne dépend que de celui de $-(x-7)$.
    Ainsi :
    $\bullet$ si $x\pp 7$ alors $x-7\pp 0$ et $-(x-7)\pg 0$ : la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[3;7]$.
    $\bullet$ si $x\pg 7$ alors $x-7\pg 0$ et $-(x-7) \pp 0$ : la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[7;10]$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est maximale quand $x=7$ et $g(7)=4\e^{3,25}\approx 103,16$.
    L’entreprise réaliser une marge brute maximale d’environ $10~316$ euros quand le prix de vente unitaire est de $700$ euros.
    $\quad$
  5. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[3;10]$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} G'(x)&=-4\e^{-0,25x+5}-0,25\times (-4x-4)\e^{-0,25x+5} \\
    &=(-4+x+1)\e^{-0,25x+5} \\
    &=(x-3)\e^{-0,25x+5} \\
    &=g(x)
    \end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;10]$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} I&=\int_3^{10} g(x)\dx \\
    &=G(10)-G(3) \\
    &=-44\e^{2,5}-\left(-16\e^{4,25}\right) \\
    &=-44\e^{2,5}+16\e^{4,25}
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]