TS – exercices – Fonction exponentielle et suites

Exercice 1

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{\text{e}^{u_n}}{n + 2}$.

  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $0 < u_n \le 1$.
    $\quad$
  2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \le \dfrac{\text{e}}{n+2}$.
    $\quad$
  3. Montrer que la suite $(u_n)$ converge.
    $\quad$

Correction
$\quad$

 

Exercice 2

Les suites $(z_n)$ et $(t_n)$ sont définies pour tout entier naturel $n$, par $z_0 = 1$, $z_{n+1} = z_n + 1$ et $t_n = \text{e}^{-z_n}$.

On note $S_n = t_0 + t_1+ \ldots + t_n$.

  1. Montrer que la suite $(t_n)$ est géométrique.
    $\quad$
  2. Montrer que la suite $(t_n)$ est convergente.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $(S_n)$.
    $\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 3

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2 – \text{e}^{-u_n}$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :

  1. $u_n \ge 0$
    $\quad$
  2. $u_{n+1} \le u_n$
    $\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 4

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $f(x) = \sqrt{x} \text{e}^{1-x}$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

  1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. On pourra vérifier que pour tout réel $x > 0, f(x) = \dfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}$.
    Interpréter graphiquement le résultat.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Pour $x > 0$, calculer $f'(x)$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variation de $f$.
    $\quad$

Partie B

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ l’aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, et les droites d’équation $x=n$ et $x=n+1$.

  1. a. Esquisser une figure schématisant la situation.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $f(n+1) \le u_n \le f(n)$.
    $\quad$
  2. En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. Prouver la convergence de la suite $(u_n)$ et déterminer sa limite.
    $\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 5

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x – 1 }$.
    a. Déterminer la limite de $f$ en $0$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_n = \dfrac{1}{n} \left(1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}}+\ldots+\text{e}^{\frac{n-1}{n}} \right)$.
    a. Calculer $1 + \text{e}^{\frac{1}{n}}+ \text{e}^{\frac{2}{n}}+\ldots+\text{e}^{\frac{n-1}{n}}$, puis en déduire que $u_n = (\text{e}-1)f\left(\dfrac{1}{n}\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire, en utilisant la question 1., que la suite $(u_n)$ converge vers $\text{e} – 1$.
    $\quad$

Correction