TS – Lois normales

TS – Exercices – Loi normales

Exercice 1

Les questions sont indépendantes.

  1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr{N}(5;9)$. Calculer une valeur approchée au dix-millième de $P(X<2)$.
    $\quad$
  2. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $2$ et d’écart-type $6$. Calculer une valeur approchée au millième de $P(2<X<3)$. En déduire $P(X<3)$.
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $5$ et d’écart-type $3$. Calculer une valeur approchée au millième de $P(X<0)$. En déduire $P(X>0)$.
    $\quad$
  4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $-3$ et d’écart-type $1,5$. Déterminer une valeur approchée au centième de $t$ telle que $P(Y<t)=0,6$. En déduire $P(Y>t)$.
    $\quad$
  5. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr{N}(-1;4)$. Déterminer une valeur approchée au centième de $t$ telle que $P(Y<t)=0,2$.
    $\quad$
  6. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr(1,1;3)$. Déterminer une valeur approchée au centième de $t$ telle que $P(Y>t)=0,6$.
    $\quad$
  7. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $1,5$, et d’écart-type inconnu. On sait que $P(Z<3)=0,75$. Déterminer l’écart-type de cette loi, au dix-millième près.
    $\quad$
  8. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $5$, et d’écart-type inconnu. On sait que $P(2<Z<8)=0,954$. Déterminer l’écart-type de cette loi.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P(X<2)=0,5-P(2<X<5) \approx 0,158~7$.
    Remarque : $\sigma^2=9$ donc $\sigma=3$
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice on a $P(2<X<3)\approx 0,066$.
    Donc $P(X<3)=0,5+P(2<X<3)\approx 0,566$.
    $\quad$
  3. On a $P(X<0)=0,5-P(0<X<5) \approx 0,048$
    Donc $P(X>0)=1-P(X<0)\approx 0,952$.
    $\quad$
  4. À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que la valeur de $t$ pour que $P(Y<t)=0,6$ est environ égale à $-2,62$.
    De plus $P(Y>t)=1-P(Y<t)=0,4$.
    $\quad$
  5. On a $\sigma^2=4$ donc $\sigma=2$.
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que la valeur de $t$ pour que $P(Y<t)=0,2$ est environ égale à $-2,68$.
    $\quad$
  6. On a $\sigma^2=3$ donc $\sigma=\sqrt{3}$.
    $P(Y>t)=0,6\ssi P(Y<t)=0,4$
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que la valeur de $t$ pour que $P(Y<t)=0,4$ est environ égale à $0,66$.
    $\quad$
  7. On a $P(Z<3)=0,75$
    La variable aléatoire $X=\dfrac{Z-1,5}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(Z<3)=0,75&\ssi P(Z-1,5<1,5)=0,75\\
    &\ssi P\left(\dfrac{Z-1,5}{\sigma}<\dfrac{1,5}{\sigma}\right)=0,5\\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{1,5}{\sigma}\right)=0,75\end{align*}$
    D’après la calculatrice on a $\dfrac{1,5}{\sigma} \approx 0,674~5$ et $\sigma \approx 2,223~9$.
    $\quad$
  8. $P(2<Z<8)=0,954\ssi P(5-3<Z<5+3)=0,954$.
    Cela signifie donc que $2\sigma=3$ soit $\sigma=1,5$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2  (Liban 2014)

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Les probabilités seront arrondies au dix millième.

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour $8\text{h}00$. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

Partie A

L’élève part tous les jours à $7 \text{h}40$ de son domicile et doit arriver à $8\text{h}00$ à son lycée. Il prend le vélo $7$ jours sur $10$ et le bus le reste du temps.
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans $99,4\%$ des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans $5\%$ des cas.
On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l’événement “L’élève se rend au lycée à vélo”, $B$ l’événement ‘l’élève se rend au lycée en bus’ et $R$ l’événement “L’élève arrive en retard au lycée”.

  1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de l’événement $V \cap R$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité de l’événement $R$ est $0,019~2$
    $\quad$
  4. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu’il s’y soit rendu en bus?
    $\quad$

Partie B : le vélo

On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.
Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d’espérance $\mu = 17$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.

  1. Déterminer la probabilité que l’élève mette entre $15$ et $20$ minutes pour se rendre à son lycée.
    $\quad$
  2. Il part de son domicile à vélo à $7\text{h}40$. Quelle est la probabilité qu’il soit en retard au lycée?
    $\quad$
  3. L’élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de $0,9$ ? Arrondir le résultat à la minute près.
    $\quad$

Partie C : le bus

Lorsque l’élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T’$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu’ = 15$ et d’écart-type $\sigma’$.
On sait que la probabilité qu’il mette plus de $20$ minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $0,05$.

On note $Z’$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T’-15}{\sigma’}$

  1. Quelle loi la variable aléatoire $Z’$ suit-elle ?
    $\quad$
  2. Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de l’écart-type $\sigma’$ de la variable aléatoire $T’$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A


  1. TS - liban - mai 2013 - ex1
  2. D’après l’arbre de probabilités précédent on a :
    $$P(V \cap R) = 0,7 \times 0,006 = 4,2 \times 10^{-3}$$
    $~$
  3. D’après la propriété des probabilités totales, on a :
    $$P(R) = P(R\cap V) + P(R\cap B) = 4,2\times 10^{-3} + 0,3 \times 0,05 = 0,0192$$
    $~$
  4. On cherche donc $P_R(B) = \dfrac{P(R\cap B)}{P(R)} = \dfrac{0,3 \times 0,05}{0,0192}= 0,78125$
    $~$

Partie B : le vélo

  1. On cherche donc $P(15 \le T \le 20) \approx 0,9460$ d’après la calculatrice.
    L’élève a donc une probabilité de $94,6\%$ de se rendre à son lycée entre $15$ et $20$ minutes.
    $~$
  2. Il arrive en retard s’il met plus de $20$ minutes.
    On cherche donc $P(T \ge 20) = 1 – P(T \le 20) \approx 0,0062$
    Il a donc une probabilité de $0,62\%$ d’arriver en retard en partant à $7\text{h }40$.
    $~$
  3. On cherche donc la valeur de $a$ telle que $P(T\le a) = 0,9$ soit $a \approx 19$.
    Il doit partir avant $7\text{ h}41$ pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de $0,9$.
    $~$

Partie C : le bus

  1. En faisant le changement de variable $Z’ = \dfrac{T’-15}{\sigma’}$, quand $T’$ suit la loi normale d’espérance $µ’=15$ et d’écart-type $\sigma’$, suit la loi normale centrée réduite.
    $~$
  2. On a donc :
    $$ P(T’ > 20) = 0,05$$
    $$P(T’-15 > 20 – 15) = 0,05$$
    $$P\left( \dfrac{T’-15}{\sigma’} > \dfrac{5}{\sigma’}\right) = 0,05$$
    $$P\left( Z’ > \dfrac{5}{\sigma’} \right) = 0,05$$
    $$P\left( Z’ < \dfrac{5}{\sigma’} \right) = 0,95$$
    A l’aide la calculatrice, on trouve $\dfrac{5}{\sigma’} \approx 1,6449$
    $~$
    D’où $\sigma’ =  3,0398$

$~$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (D’après Amérique du Nord mai 2014)

Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de $50$ mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale $55$ mL.
On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de $49$ mL de crème.

  1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 50$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.
    Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
    $\quad$
  2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu = 50$. On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.
    On note $\sigma’$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X – 50}{\sigma’}$
    a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire $Z$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \le u) = 0, 06$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur attendue de $\sigma’$.
    $\quad$
  3. Une boutique commande à son fournisseur $50$ pots de cette nouvelle crème.
    On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est $0,06$.
    Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les $50$ pots reçus.
    a. On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On cherche donc $P(X \le 49) \approx 0,202$
    $~$
  2. a. La variable aléatoire $Z = \dfrac{X – 50}{\sigma’}$ suit donc la loi normale centrée réduite.
    $~$
    b. Grace à la calculatrice, on trouve $u \approx -1,555$
    $~$
    c. On veut que :
    $$ \begin{align} P(X \le 49) &= 0,06 \\\\
    &=P(X – 50 \le -1) = 0,06\\\\
    &=P\left(\dfrac{X-50}{\sigma’} \le \dfrac{-1}{\sigma’} \right)= 0,06 \end{align}$$
    Par conséquent $\dfrac{-1}{\sigma’} = -1,555$ donc $\sigma’ = \dfrac{1}{1,555} \approx 0,643$
    $~$
  3. a. Il y a $50$ pots. Les tirages sont aléatoires, indépendants et identiques.
    Chaque tirage possède $2$ issues : le pot est conforme ou non conforme.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,06$
    $~$
    b. On cherche donc $P(Y \le 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y=2)$
    Or $P(Y = 2) = \binom{50}{2} 0,06^2 \times 0,94^{48}$
    $P(Y = 1) = \binom{50}{1} 0,06^1 \times 0,94^{49}$
    $P(Y=0) = 0,94^{50}$
    Donc $P(Y \le 2) \approx 0,416$
    $~$
    Remarque : on peut également faire directement le calcul à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4 (D’après Antilles-Guyane juin 2014)

Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : “la plate” et “la japonaise”. Chaque année, les huîtres plates représentent $15\%$ de sa production.
Les huîtres sont dites de calibre n° 3 lorsque leur masse est comprise entre $66$ g et $85$ g.
Seulement $10\%$ des huîtres plates sont de calibre n° 3, alors que $80\%$ des huîtres japonaises le sont.

Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.

  1. Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l’ostréiculteur. On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d’être choisies.
    On considère les événements suivants :
    • $J$ : “l’huître prélevée est une huître japonaise”,
    • $C$ : “l’huître prélevée est de calibre n° 3”.
    a. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n° 3.
    $\quad$
    c. Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre n° 3 est $0,695$.
    $\quad$
    d. Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre n° 3.
    Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ?
    $\quad$
  2. La masse d’une huître peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 90$ et d’écart-type $\sigma = 2$.
    a. Donner la probabilité que l’huître prélevée dans la production de l’ostréiculteur ait une masse comprise entre $87$ g et $89$ g.
    $\quad$
    b. Donner $P(X \ge 91)$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

 

  1. a.$~$
    TS - antilles-guyane-juin2014-ex1

    $~$
    b. On cherche donc $P\left( \bar{J} \cap C \right) = 0,15 \times 0,1 =  0,015$
    $~$
    c. D’après la propriété des probabilités totales :
    $$\begin{align} P(C) &= P(J \cap C) + P\left( \bar{J} \cap C \right) \\\\
    &=0,85 \times 0,8 + 0,015 \\\\
    &= 0,695
    \end{align}$$
    $~$
    d. On cherche à calculer :
    $$\begin{align} P_C\left( \bar{J} \right) & = \dfrac{P\left( C \cap \bar{J} \right)}{P(C)} \\\\
    &= \dfrac{0,015}{0,695} \\\\
    &=\dfrac{3}{139} \\\\
    & \approx 0,0216
    \end{align}$$
  2. a. D’après la calculatrice $P(87 \le X \le 89) \approx 0,2417$
    $~$
    b. $P(X \ge 91) = 0,5 – P(90 \le X \le 91) \approx 0,3085$
    $~$

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$\quad$

Exercice 5 (D’après Asie juin 2014)

Le taux d’hématocrite est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sang. On note $X$ la variable aléatoire donnant le taux d’hématocrite d’un adulte choisi au hasard dans la population française. On admet que cette variable suit une loi normale de moyenne $\mu = 45,5$ et d’écart-type $\sigma$.

Partie A

On note $Z$ la variable aléatoire $Z = \dfrac{X – \mu}{\sigma} = \dfrac{X – 45,5}{\sigma}$.

  1. a. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Z$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer $P(X \le \mu)$.
    $\quad$
  2. En prenant $\sigma = 3,8$, déterminer $P(37,9 \le X \le 53,1)$. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$

Partie B

Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence $1\%$. On sait d’autre part que $30\%$ de la population française a plus de 50 ans, et que $90\%$ des porteurs de la maladie V dans la population française ont plus de 50 ans.

On choisit au hasard un individu dans la population française.

On note $\alpha$ l’unique réel tel que $P(X \le \alpha) = 0,995$, où $X$ est la variable aléatoire définie au début de l’exercice. On ne cherchera pas à calculer $\alpha$.

On définit les événements :

  • $M$ “l’individu est porteur de la maladie V” ;
  • $S$ “l’individu a plus de 50 ans” ;
  • $H$ “l’individu a un taux d’hématocrite supérieur à $\alpha$”.

Ainsi $P(M) = 0,01, \quad P_{M}(S) = 0,9$ et $P(H) = P(X > \alpha)$.

D’autre part, une étude statistique a révélé que $60\%$ des individus ayant un taux d’hématocrite supérieur à $\alpha$ sont porteurs de la maladie V.

  1. Déterminer $P(M \cap S)$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un individu ayant plus de 50 ans. Montrer que la probabilité qu’il soit porteur de la maladie V est égale à $0,03$.
    $\quad$
  3. a. Calculer la probabilité $P(H)$.
    $\quad$
    b. L’individu choisi au hasard a un taux d’hématocrite inférieur ou égal à $\alpha$. Calculer la probabilité qu’il soit porteur de la maladie V. Arrondir au millième.
    $\quad$
Correction Exercice 5

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $Z$ correspond au changement de variable $\dfrac{X – µ}{\sigma}$.
    Elle suit donc la loi normale centrée réduite.
    $~$
  2. b. Par définition $P(X \le µ) = 0,5$
    $~$
  3.  $P(37,9 \le X \le 53,1) =  P(µ-2\sigma \le X \le µ + 2\sigma) \approx 0,95$
    $~$

Partie B

  1. a. On sait que $P_M(S) = 0,9$ et $P(M) = 0,01$
    Par conséquent :
    $$\begin{align} P_M(S) &= \dfrac{P(M \cap S)}{P(M)} \\\\
    P(M \cap S) &= P_M(S) \times P(M) \\\\
    &= 0,9 \times 0,01 \\\\
    & = 0,009
    \end{align}$$
    $~$
    b. On calcule donc :
    $$P_S(M) = \dfrac{P(S \cap M)}{P(S)} =  \dfrac{0,009}{0,3} = 0,03$$
  2. a. $P(H) = P(X > \alpha) = 1 – P(X \le \alpha) $ $= 1 – 0,995 = 0,005$
    $~$
    b. On veut donc calculer : $ P_\bar{H}(M) = \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})}$
    Or $P_H(M) = \dfrac{P(H \cap M)}{P(H)}$ soit $P(H \cap M) = 0,6 \times 0,005 = 0,003$.
    Par conséquent, d’après la formule des probabilités totales, on a :
    $$\begin{align} P(\bar{H} \cap M) + P(H \cap M) &= P(M) \\\\
    \Leftrightarrow P(\bar{H} \cap M) & = 0,01 – 0,003 \\\\
    &= 0,007
    \end{align}$$
    On obtient donc :
    $$\begin{align} P_\bar{H}(M) &= \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})} \\\\
    & = \dfrac{0,007}{0,995} \\\\
    & \approx 0,007
    \end{align}$$

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$\quad$