1. $f(x)=2x^3-5x^2+2x-3$
   $f$ est définie et dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynômes.
   $f’$ est également définie sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
   Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=6x^2-10x+2$.
   $\quad$
2. $f(x)=4x^3-\dfrac{2}{x}+5\sqrt{x}$
   La fonction inverse est définie sur $\R^*$ et la fonction racine carrée sur $[0;+\infty[$. Donc $f$ est définie sur $]0;+\infty[$.
   La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$. La fonction $x\mapsto 4x^3-\dfrac{2}{x}$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. $f’$ est donc définie sur $]0;+\infty[$.
   Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=12x^2+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}}$
   $\quad$
3. $f(x)=\left(x^2+3\right)\left(x^3-5x\right)$
   $f$ est définie et dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions polynômes. $f’$ est donc définie sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=2x\left(x^3-5x\right)+\left(x^2+3\right)\left(3x^2-5\right) \\
   &=2x^4-10x^2+3x^4-5x^2+9x^2-15 \\
   &=5x^4-6x^2-15\end{align*}$
   $\quad$
4. $f(x)=\dfrac{5x^2-3}{x^2+1}$
   Pour tout réel $x$ on a $x^2+1\pg 1>0$. La fonction $f$ est donc définie sur $\R$ et dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
   $f’$ est donc définie sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{10x\left(x^2+1\right)-2x\left(5x^2-3\right)}{\left(x^2+1\right)^2} \\
   &=\dfrac{10x^3+10x-10x^2+6x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
   &=\dfrac{16x}{\left(x^2+1\right)^2}\end{align*}$
   $\quad$
5. $f(x)=(1-7x)^4$
   $f$ est définie et dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
   $f’$ est donc définie sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=4\times (-7)(1-7x)^3 \\
   &=-28(1-7x)^3\end{align*}$
   $\quad$
6. $f(x)=\dfrac{5x-3}{x-1}$
   $x-1=0 \ssi x=1$. La fonction $f$ est définie sur $]-\infty,1[\cup]1;+\infty[$. Elle est également dérivable sur $]-\infty,1[\cup]1;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]-\infty,1[\cup]1;+\infty[$.
   $f’$ est donc définie sur $]-\infty,1[\cup]1;+\infty[$.
   Pour tout réel $x\in ]-\infty,1[\cup]1;+\infty[$
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{5(x-1)-(5x-3)}{(x-1)^2} \\
   &=\dfrac{5x-5-5x+3}{(x-1)^2} \\
   &=\dfrac{-2}{(x-1)^2}\end{align*}$
   $\quad$
7. $f(x)=-3x+1+\dfrac{2}{5x}$
   $5x=0\ssi x=0$. $f$ est donc définie sur $\R^*$. Elle est également dérivable sur $\R^*$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet ensemble.
   $f’$ est donc définie sur $\R^*$.
   Pour tout réel $x$ non nul on a :
   $f'(x)=-3-\dfrac{2}{5x^2}$
   $\quad$
8. $f(x)=\dfrac{1}{9x+x^2}$
   $9x+x^2=0 \ssi x(9+x)=0 \ssi x=0$ ou $x=-9$.
   $f$ est donc définie sur $I=]-\infty;-9[\cup]-9;0[\cup ]0;+\infty[$ et dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $I$.
   $f’$ est donc définie sur $I$.
   Pour dériver cette fonction, il est conseillé d’utiliser la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)’=\dfrac{-u’}{u^2}$.
   Pour tout réel $x\in I$ on a : $f'(x)=-\dfrac{9+2x}{\left(9x+x^2\right)^2}$
   $\quad$
9. $f(x)=\left(x^2-5x\right)^5$
   $f$ est définie et dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
   $f’$ est donc définie sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=5(2x-5)\left(x^2-5x\right)^4$.
   $\quad$

1. $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+12x-5$.
   $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
   $f'(x)=-3\times 2x+12=-6x+12$
   $-6x+12=0 \ssi x=2$
   $-6x+12>0 \ssi -6x>-12 \ssi x<2$
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   $\quad$
   
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;2]$ et strictement décroissante sur $[2;+\infty[$.
   $\quad$
2. $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3-9x^2-21x+4$.
   $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
   $g'(x)=3x^2-9\times 2x-21=3x^2-18x-21$.
   Son discriminant est :
   $\Delta = (-18)^2-4\times 3 \times (-21)=576>0$
   Il y a deux racines réelles :
   $x_1=\dfrac{18-\sqrt{576}}{2\times 3}=-1$
   $x_2=\dfrac{18+\sqrt{576}}{2\times 3}=7$
   Puisque $a=3>0$ on obtient le tableau de variation suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
   $g$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[7;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;7]$.
   $\quad$
3. $h$ définie sur $I=]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{5x-3}{x-1}$.
   La fonction $h$ est dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $I$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $I$.
   $h$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$. On utilise donc la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=5x-3$ et $v(x)=x-1$.
   On a donc $u'(x)=5$ et $v'(x)=1$
   $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{5(x-1)-(5x-3)}{(x-1)^2} \\
   &=\dfrac{5x-5-5x+3}{(x-1)^2} \\
   &=\dfrac{-2}{(x-1)^2}
   \end{align*}$
   Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à $I$, on a $h'(x)<0$.
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   $\quad$
   
   La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;1[$ et sur $]1;+\infty[$.
   $\quad$
4. $i$ définie sur $I=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $i(x)=\dfrac{x^3-2x-1}{x^3}$.
   La fonction $i$ est dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $I$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $I$.
   $i$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$. On utilise donc la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=x^3-2x-1$ et $v(x)=x^3$.
   On a donc $u'(x)=3x^2-2$ et $v'(x)=3x^2$
   $\begin{align*} i'(x)&=\dfrac{\left(3x^2-2\right)x^3-3x^2\left(x^3-2x-1\right)}{\left(x^3\right)^2}\\
   &=\dfrac{3x^5-2x^3-3x^5+6x^3+3x^2}{x^6}\\
   &=\dfrac{4x^3+3x^2}{x^6}\\
   &=\dfrac{x^2(4x+3)}{x^6}\\
   &=\dfrac{4x+3}{x^4}
   \end{align*}$
   Pour tout réel $x\in I$, on a $x^4>0$.
   Le signe de $i'(x)$ ne dépend donc que de celui de $4x+3$.
   $4x+3=0\ssi 4x=-3 \ssi x=-\dfrac{3}{4}$
   $4x+3>0 \ssi 4x>3 \ssi x>-\dfrac{3}{4}$
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   $\quad$
   
   La fonction $i$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{4}\right]$ et croissante sur $\left[-\dfrac{3}{4};0\right[$ et $]0;+\infty[$.
   $\quad$
5. $j$ définie sur $[0;+\infty[$ par $j(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$.
   La fonction $j$ est dérivable sur $I=]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas sur $I$.
   $i$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$. On utilise donc la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=\sqrt{x}$ et $v(x)=x+1$.
   On a donc $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $v'(x)=1$
   $\begin{align*} j'(x)&=\dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{(x+1)^2} \\
   &=\dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} \\
   &=\dfrac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} \\
   &=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}
   \end{align*}$
   Le signe de $j'(x)$ sur $I$ ne dépend que de celui de $1-x$.
   $1-x=0 \ssi x=1$
   $1-x>0 \ssi x<1$
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   $\quad$
   
   La fonction $j$ est donc strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
   $\quad$

$\begin{align*}
A&=\dfrac{\e^{3x}\times \e^{-1}}{\e^{x-3}}\\[3mm]
&=\dfrac{\e^{3x-1}}{\e^{x-3}} \\[3mm]
&=\e^{3x-1-(x-3)} \\[3mm]
&=\e^{2x+2}\\[3mm]\\
B&=\left(2\e^x\right)^3\times \e^{-4x} \\[3mm]
&=2^3\e^{3x}\times \e^{-4x} \\[3mm]
&=8\e^{3x-4x} \\[3mm]
&=8\e^{-x}\\[3mm]\\
C&=\dfrac{\e^{-4x}}{\e^{4-6x}}\\[3mm]
&=\e^{-4x-(4-6x)} \\[3mm]
&=\e^{-4x-4+6x} \\[3mm]
&=\e^{2x-4}\\[3mm]\\
D&=\dfrac{\e^3\times \e^x}{\e^{-5}\times \e^{-x}} \\[3mm]
&=\dfrac{\e^{3+x}}{\e^{-5-x}} \\[3mm]
&=\e^{3+x-(-5-x)} \\[3mm]
&=\e^{3+x+5+x} \\[3mm]
&=\e^{8+2x}\\[3mm]\\
\end{align*}$

1. $\quad$
   $\begin{align*} \dfrac{1-\e^{-2x}}{1+\e^{-2x}}&=\dfrac{\e^{-2x}\left(\e^{2x}-1\right)}{\e^{-2x}\left(\e^{2x}+1\right)} \\
   &=\dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1}\end{align*}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} \e^{-x}-\e^{-2x}&=\dfrac{1}{\e^x}-\dfrac{1}{\e^{2x}}\\
   &=\dfrac{\e^x-1}{\e^{2x}}\end{align*}$
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{align*} \left(\e^x+\e^{-x}\right)^2-2&=\e^{2x}+\e^{-2x}+2\e^x\e^{-x}-2 \\
   &=\e^{2x}+\e^{-2x}+2-2 \\
   &=\e^{2x}+\dfrac{1}{\e^{2x}} \\
   &=\dfrac{\e^{4x}+1}{\e^{2x}}\end{align*}$
   $\quad$

1. $f(x) = \e^x + 2x-\e^3$
   $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^x+2$.
   $\quad$
2. $f(x) = 2x\e^x$
   $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+2x\e^x \\
   &=2(x+1)\e^x\end{align*}$
   $\quad$
3. $f(x) = (5x^2-2x)\e^x$
   $x\mapsto 5x^2-2x$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynomiale. $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=(10x-2)\e^x+\left(5x^2-2x\right)\e^x \\
   &=\left(10x-2+5x^2-2x\right)\e^x \\
   &=\left(5x^2+8x-2\right)\e^x\end{align*}$
   $\quad$
4. $f(x) = \left(\e^x + 2\right)\left(\e^x – \e\right)$
   $x\mapsto \e^x+2$ et $x\mapsto \e^x-\e$ sont dérivables sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
   $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\e^\left(\e^x-\e\right)+\left(\e^x+2\right)\e^x \\
   &=\e^x\left(\e^x-\e+\e^x+2\right) \\
   &=\e^x\left(2\e^x+2-\e\right)\end{align*}$
   $\quad$
5. $f(x) = \dfrac{2\e^x-1}{\e^x + 3}$
   $x\mapsto 2\e^x-1$ et $x\mapsto \e^x+3$ sont dérivables sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$. De plus, pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$ donc $\e^x+3\neq 0$.
   La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^x\left(\e^x+3\right)-\e^x\left(2\e^x-1\right)}{\left(\e^x+3\right)^2} \\
   &=\dfrac{2\e^{2x}+6\e^x-2\e^{2x}+\e^x}{\left(\e^x+3\right)^2} \\
   &=\dfrac{7\e^x}{\left(\e^x+3\right)^2}\end{align*}$
   $\quad$
6. $f(x) = \e^{x^3+\scriptsize{\dfrac{2}{5}}\normalsize x^2-1}$
   $x\mapsto x^3+\dfrac{2}{5}x^2-1$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme. La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$.
   La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour dériver cette fonction on va utiliser la formule $\left(\e^u\right)’=u’\e^u$.
   Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\left(3x+\dfrac{4}{5}x\right) \e^{x^3+\scriptsize{\dfrac{2}{5}}\normalsize x^2-1}$.
   $\quad$
7. $f(x) = \e^{\frac{x+1}{x^2+1}}$
   $x\mapsto \dfrac{x+1}{x^2+1}$ est dérivable en tant que quotient de fonctions polynômes (donc dérivable sur $\R$) dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$ (puisque $x^2+1\pg 1$ pour tout réel $x$).
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times \left(x^2+1\right)-2x(x+1)}{\left(x^2+1\right)^2}\e^{\frac{x+1}{x^2+1}} \\
   &=\dfrac{x^2+1-2x^2-2x}{\left(x^2+1\right)^2}\e^{\frac{x+1}{x^2+1}} \\
   &=\dfrac{-x^2-2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}\e^{\frac{x+1}{x^2+1}} \end{align*}$.
   $\quad$

1. $\e^x=\e^3$
   Par stricte croissance de la fonction exponentielle, l’unique solution de cette équation est $3$.
   $\quad$
2. $\e^x-\e^{-4}=0 \ssi \e^x=\e^{-4}$
   Par stricte croissance de la fonction exponentielle, l’unique solution de cette équation est $-4$.
   $\quad$
3. $\e^x=1\ssi \e^x=\e^0$
   Par stricte croissance de la fonction exponentielle, l’unique solution de cette équation est $0$.
   $\quad$
4. $\e^x-\e=0 \ssi \e^x=\e^1$
   Par stricte croissance de la fonction exponentielle, l’unique solution de cette équation est $1$.
   $\quad$
5. $\e^{2x+4}=\e^2$
   Par stricte croissance de la fonction exponentielle cela revient à $2x+4=2 \ssi 2x=-2 \ssi x=-1$.
   L’unique solution de l’équation initiale est $-1$.
   $\quad$
6. $\e^x=0$
   La fonction exponentielle est strictement positive. Cette équation n’admet donc aucune solution.
   $\quad$
7. $\e^{-3x+5}=1 \ssi \e^{-3x+5}=\e^0$
   Par stricte croissance de la fonction exponentielle cela revient à $-3x+5=0 \ssi -3x=-5 \ssi x=\dfrac{5}{3}$.
   L’unique solution de l’équation initiale est $\dfrac{5}{3}$.
   $\quad$
8. $\e^x+5=0\ssi \e^x=-5$
   La fonction exponentielle est strictement positive. Cette équation n’admet donc aucune solution.
   $\quad$

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   $f'(x) = \e^x + x\e^x = (x + 1)\e^x$.
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+1$.
   Par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$ et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   $f'(x) = -2x\e^x + (2 -x^2)\e^x = \e^x(-2 x + 2 – x^2)$.
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-x^2 – 2x + 2$.
   On calcule le discriminant : $\Delta = (-2)^2 – 4 \times 2 \times (-1) = 12 > 0$.
   Il y a donc deux racines réelles : $x_1 = \dfrac{2 – \sqrt{12}}{-2} = -1 + \sqrt{3}$ et $x_2 = -1 – \sqrt{3}$.
   Puisque $a=-1<0$, la fonction est donc décroissante sur les intervalles $\left]-\infty;-1-\sqrt{3}\right]$ et $\left[-1+\sqrt{3};+\infty\right[$ et croissante sur $\left[-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right]$
   $\quad$
3. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule jamais.
   $f'(x) = \dfrac{\left(1  +\e^x\right)\e^x – \e^x\left(x + \e^x\right)}{\left(\e^x\right)^2} = \dfrac{\e^x\left(1 + \e^x- x -\e^x\right)}{e^{2x}}$ $=\dfrac{(1 – x)\e^x}{\e^{2x}}$ $=\dfrac{1 – x}{\e^x}$
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1 – x$.
   Par conséquent la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty[$.
   $\quad$
4. La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R^*$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R^*$.
   $f'(x)=\dfrac{x\e^x-\e^x}{x^2} = \dfrac{\e^x(x – 1)}{x^2}$.
   La fonction exponentielle et la fonction $x \mapsto x^2$ étant strictement positive sur $\R^*$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x – 1$.
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;1]$ et croissante sur $[1;+\infty[$.
   $\quad$
5. La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R^*$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R^*$.
   $f'(x) = \dfrac{-\e^x}{\left(\e^x – 1\right)^2}$.
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R^*$, $f'(x) < 0$ sur $\R^*$.
   La fonction $f$ est donc décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.

1. $\quad$
   $\begin{align*}\ln(3\e)&\ln(3)+\ln(\e) \\
   &=1+\ln(3)\end{align*}$
   $\quad$
2. $\ln\left(\e^2\right)=2$
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{align*} \ln\left(\sqrt{\e}\right)&=\dfrac{1}{2}\ln(\e) \\[3mm]
   &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   $\quad$
4. $\quad$
   $\begin{align*}\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)+\ln\left(\dfrac{3}{5}\right)+\ln\left(\dfrac{5}{7}\right)+\ln\left(\dfrac{7}{9}\right)&=\ln\left(\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{5}\times \dfrac{5}{7}\right) \\
   &=\ln\left(\dfrac{1}{7}\right) \\
   &=-\ln(7)\end{align*}$
   $\quad$
5. $\quad$
   $\begin{align*}\ln\left(\left(2+\sqrt{3}\right)^{20}\right)+\ln\left(\left(2-\sqrt{3}\right)^{20}\right)&=20\ln\left(2+\sqrt{3}\right)-20\ln\left(2-\sqrt{3}\right) \\
   &=20\ln\left(\left(2+\sqrt{3}\right)(\left(2-\sqrt{3}\right)\right) \\
   &=20\ln\left(4-3\right) \\
   &=20\ln(1)\\
   &=0\end{align*}$
   $\quad$

1. $5x>0 \ssi x>0$
   $\ln(5x)=6\ssi 5x=\e^6$ par stricte croissance de la fonction exponentielle.
   $\dfrac{\e^6}{5}>0$.
   La solution de l’équation initiale est donc $\dfrac{\e^6}{5}$.
   $\quad$
2. L’équation est définie sur $]0;+\infty[$.
   $\ln(x)=-4 \ssi x=\e^{-4}$ par stricte croissance de la fonction exponentielle.
   La solution de l’équation initiale est donc $\e^{-4}$ (qui est bien strictement positif).
   $\quad$
3. L’équation est définie sur $\R^*$ car, pour tout réel $x\neq 0$ on a $x^2>0$.
   $\ln\left(x^2\right)=2 \ssi x^2=\e^2$ par stricte croissance de la fonction exponentielle.
   L’équation initiale admet donc deux solutions $\sqrt{\e^2}=\e$ et $\sqrt{\e^2}=-\e$ (elles sont bien non nulles).
   $\quad$
4. $\dfrac{x}{3}>0 \ssi x>0$.
   $\ln\left(\dfrac{x}{3}\right)=1\ssi \dfrac{x}{3}=\e$ par stricte croissance de la fonction exponentielle.
   L’unique solution de l’équation initiale est donc $3\e$ (qui est bien strictement positif).
   $\quad$
5. $3x-2>0 \ssi x>\dfrac{2}{3}$
   $\ln(3x-2)=0 \ssi 3x-2=1$ par stricte croissance de la fonction exponentielle.
   $\ssi 3x=3$
   $\ssi x=1$ Or $1>\dfrac{2}{3}$
   L’unique solution de l’équation initiale est $1$.
   $\quad$
6. $\e^{3x+4}=2 \ssi 3x+4=\ln(2)$ par stricte croissance de la fonction $\ln$.
   $\ssi 3x=\ln(2)-4$
   $\ssi x=\dfrac{\ln(2)+4}{3}$
   L’unique solution de l’équation initiale est $\dfrac{\ln(2)+4}{3}$.
   $\quad$
7. $\e^{-x\ln(4)}=5 \ssi -x\ln(4)=\ln(5)$ par stricte croissance de la fonction $\ln$.
   $\ssi x=-\dfrac{\ln(5)}{\ln(4)}$
   L’unique solution de l’équation initiale est $\dfrac{\ln(5)}{\ln(4)}$.
   $\quad$

1. $f(x)=x^2\ln(x)$
   La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
   La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
   &=2x\ln(x)+x \\
   &=x(2\ln(x)+1)
   \end{align*}$
   Nous allons étudier le signe de $f'(x)$.
   Sur l’intervalle $]0,+\infty[$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2\ln(x)+1$.
   $\quad$
   $\begin{align*} 2\ln(x)+1=0 &\ssi 2\ln(x)=-1\\
   &\ssi \ln(x)=-\dfrac{1}{2}\\
   &\ssi \ln(x)=\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
   & \ssi x=\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} 2\ln(x)+1>0 &\ssi 2\ln(x)>-1\\&\ssi \ln(x)>-\dfrac{1}{2}\\
   &\ssi \ln(x)>\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
   & \ssi x>\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$On a utiliser la stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\R$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   $\quad$
2. $g(x)=x\ln(x)-2x$
   La fonction $g$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
   La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} g'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-2\\
   &=\ln(x)+1-2 \\
   &=\ln(x)-1
   \end{align*}$
   Ainsi :
   $\begin{align*} g'(x)=0 &\ssi \ln(x)-1=0 \\
   &\ssi \ln(x)=1 \\
   &\ssi x=\e\end{align*}$ $\quad $et$\quad$ $\begin{align*} g'(x)>0 &\ssi \ln(x)-1>0 \\
   &\ssi \ln(x)>1 \\
   &\ssi x>\e\end{align*}$On a utiliser la stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\R$.
   On obtient le tableau de variations suivant :
   $\quad$
3. $h(x)=x^2-3x+\ln(x)$
   La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
   La fonction $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} h'(x)&=2x-3+\dfrac{1}{x} \\
   &=\dfrac{2x^2-3x+1}{x} \end{align*}$
   Sur l’intervalle $]0;+\infty[$, le signe de $h'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2-3x+1$.
   On cherche les racines de $2x^2-3x+1$
   $\Delta = (-3)^2-4\times 2\times 1=1>0$
   Les deux racines réelles sont :
   $x_1=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{3+1}{4}=1$.
   Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=2>0$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   $h\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{4}+\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)$.
   $\quad$

1. $F(x)=-3\e^{-2x+1}$, $f(x)=6\e^{-2x+1}$ et $\mathscr{D}=\R$.
   La fonction $x\mapsto -2x+1$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction affine. La fonction $F$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} F'(x)&=-3\times (-2)\e^{-2x+1} \\
   &=6\e^{-2x+1} \\
   &=f(x)\end{align*}$
   $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
   $\quad$
2. $F(x)=(x-1)\e^x$, $f(x)=x\e^x$ et $\mathscr{D}=\R$.
   $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} F'(x)&=\e^x+(x-1)\e^x \\
   &=(1+x-1)\e^x \\
   &=x\e^x \\
   &=f(x)\end{align*}$
   $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
   $\quad$
3. $F(x)=x\ln(x)-x$, $f(x)=\ln(x)$ et $\mathscr{D}=]0;+\infty[$.
   $x\mapsto x\ln(x)$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
   $F$ est donc dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} F'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
   &=\ln(x)+1-1 \\
   &=\ln(x)\\
   &=f(x)\end{align*}$
   $F$ est donc une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
4. $F(x)=(-70x-560)\e^{-x/5}$, $f(x)=(14x+42)\e^{-x/5}$ et $\mathscr{D}=\R$.
   $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*}F'(x)&=-70\e^{-x/5}-\dfrac{1}{5}(-70x-560)\e^{-x/5} \\
   &=(-70+14x+112)\e^{-x/5} \\
   &=(14x+42)\e^{-x/5}\end{align*}$
   $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
   $\quad$
5. $F(x)=\dfrac{x\ln(x)-1}{x}$, $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2}$ et $\mathscr{D}=]0;+\infty[$
   $x\mapsto x\ln(x)$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
   $F$ est donc dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivable sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right)x-\left(x\ln(x)-1\right)}{x^2} \\
   &=\dfrac{x\ln(x)+x-x\ln(x)+1}{x^2} \\
   &=\dfrac{x+1}{x^2}\\
   &=f(x)\end{align*}$
   $F$ est donc une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$

1. $f$ définie par $f(x)=x^2-5x+2$ sur $I=\R$.
   Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+2x$.
   $\quad$
2. $f$ définie par $f(x)=\dfrac{5}{x^3}$ sur $I=]0;+\infty[$.
   Une primitive de $f$ sur $I$ est la fonction $F$ définie sur $I$ par $F(x)=-\dfrac{5}{2x^2}$.
   $\quad$
3. $f$ définie par $f(x)=2\e^{3x}-x$ sur $I=\R$.
   Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}\e^{3x}-\dfrac{x^2}{2}$.
   $\quad$
4. $f$ définie par $f(x)=-\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ sur $I=]0;+\infty[$.
   Pour tout réel $x\in I$ on a $f(x)=-2x^{-1/2}$.
   Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=2\left(-2x^{-1/2+1}\right)$ soit $F(x)=-4\sqrt{x}$.
   $\quad$
5. $f$ définie par $f(x)=(x-2)(2x+3)$ sur $I=\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} f(x)&=2x^2+3x-4x-6 \\
   &=2x^2-x-6\end{align*}$
   Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-6x$.
   $\quad$
6. $f$ définie par $f(x)=\dfrac{3}{x}+x^4$ sur $I=]0;+\infty[$.
   Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie sur $I$ par $F(x)=3\ln(x)+\dfrac{1}{5}x^5$.
   $\quad$
7. $f$ définie par $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$ sur $I=]-1;+\infty[$.
   Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie sur $I$ par $F(x)=\ln(x+1)$.
   $\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align*} \int_1^2 \left(\dfrac{1}{x^2}+x\right)\dx&=\left[-\dfrac{1}{x}+\dfrac{x^2}{2}\right])1^2 \\
   &=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} \\
   &=-\dfrac{1}{2}+2+1-\dfrac{1}{2} \\
   &=2\end{align*}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} \int_0^3 \left(x^2-2x-\dfrac{1}{2}\right)\dx&\left[\dfrac{x^3}{3}-x^2-\dfrac{x}{2}\right]_0^3 \\
   &=\dfrac{27}{3}-9-\dfrac{3}{2} \\
   &=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{align*} \int_1^5 \left(2+\dfrac{3}{x}\right)\dx &=\Big[2x+3\ln(x)\Big]_1^5 \\
   &=10+3\ln(5)-2 \\
   &=8+3\ln(5)\end{align*}$
   $\quad$
4. $\quad$
   $\begin{align*}\int_{-3}^3 2x\e^{x^2}\dx&=\left[\e^{x^2}\right]_{-3}^3 \\
   &=\e^9-\e^9 \\
   &=0\end{align*}$