Suites numériques

Terminale vers ECG

Tous les exercices pour réviser l’été avant d’entrer en CPGE ECG se trouvent là.

Un rappel sur les suites numériques est disponible ici.

À faire sans calculatrice.

Calculs de termes

Exercice 1

Dans chacun des cas déterminer les termes $u_0$, $u_1$ et $u_2$ de la suite $\left(u_n\right)$ fournie.
a. $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=3n-2$.
$\quad$
b. $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=2n^2+3n+4$.
$\quad$
c. $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=\dfrac{n-3}{3n+1}$.
$\quad$
d. $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=(3n+1)(2n+5)-2n$.
$\quad$
e. $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=\dfrac{2n+1}{4n+5}$.
$\quad$
Dans chacun des cas, déterminer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$ de la suite $\left(u_n\right)$ fournie.
a. $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=-2$ et $u_{n+1}=-5-u_n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
b. $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=5u_n-1$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
c. $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=-1$ et $u_{n+1}=2u_n+n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
d. $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=3(n+2)u_n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
e. $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$

Correction Exercice 1

a. $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=3n-2$.
$u_0=3\times 0-2=-2$
$u_1=3\times 1-2=1$
$u_2=3\times 2-2=4$
$\quad$
b. $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=2n^2+3n+4$.
$u_0=2\times 0^2+3\times 0+4=4$
$u_1=2\times 1^2+3\times 1+4=9$
$u_2=2\times 2^2+3\times 2+4=18$
$\quad$
c. $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=\dfrac{n-3}{3n+1}$.
$u_0=\dfrac{0-3}{3\times 0+1}=-3$
$u_1=\dfrac{1-3}{3\times 1+1}=-\dfrac{1}{2}$
$u_2=\dfrac{2-3}{3\times 2+1}=-\dfrac{1}{7}$
$\quad$
d. $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=(3n+1)(2n+5)-2n$.
$u_0=(3\times 0+1)(2\times 0+5)=5$
$u_1=(3\times 1+1)(2\times 1+5)=28$
$u_2=(3\times 2+1)(2\times 2+5)=63$
$\quad$
e. $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=\dfrac{2n+1}{4n+5}$.
$u_0=\dfrac{2\times 0+1}{4\times 0+5}=\dfrac{1}{5}$
$u_1=\dfrac{2\times 1+1}{4\times 1+5}=\dfrac{1}{3}$
$u_2=\dfrac{2\times 2+1}{4\times 2+5}=\dfrac{5}{13}$
$\quad$
Dans chacun des cas, déterminer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$ de la suite $\left(u_n\right)$ fournie.
a. $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=-2$ et $u_{n+1}=-5-u_n$ pour tout entier naturel $n$.
$u_1=-5-(-2)=-3$
$u_2=-5-(-3)=-2$
$u_3=-5-(-2)=-3$
$\quad$
b. $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=5u_n-1$ pour tout entier naturel $n$.
$u_1=5\times 4-1=19$
$u_2=5\times 19-1=94$
$u_3=5\times 94-1=469$
$\quad$
c. $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=-1$ et $u_{n+1}=2u_n+n$ pour tout entier naturel $n$.
$u_1=2\times -1+0=-2$
$u_2=2\times (-2)+1=-3$
$u_3=2\times (-3)+1=-5$
$\quad$
d. $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=3(n+2)u_n$ pour tout entier naturel $n$.
$u_1=3\times (0+2)\times 2=12$
$u_2=3\times (1+2)\times 12=108$
$u_3=3\times (2+2)\times 108=1~296$
$\quad$
e. $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
$u_1=\dfrac{1}{1}=1$
$u_2=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
$u_3=\dfrac{~\dfrac{1}{2}~}{3}=\dfrac{1}{6}$
$\quad$

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$\quad$

Sens de variations

Exercice 2

Dans chacun des cas déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

$\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=-2n+5$.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N^*$ par $u_n=n+\dfrac{1}{n}$.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=\left(\dfrac{7}{5}\right)^n$.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=n^2-n$.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=-1$ et, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=u_n-n^2$.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=u_n\left(1+3u_n\right)$.
$\quad$

Correction Exercice 2

$\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=-2n+5$.
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=-2(n+1)+5-(-2n+5) \\
&=-2n-2+5+2n-5 \\
&=-2\\
&<0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N^*$ par $u_n=n+\dfrac{1}{n}$.
Soit $n\in \N^*$
$\begin{align*}
u_{n+1}-u_n&=n+1+\dfrac{1}{n+1}-\left(n+\dfrac{1}{n}\right) \\
&=n+1+\dfrac{1}{n+1}-n-\dfrac{1}{n} \\
&=1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\\
&=1+\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1)} \\
&=1-\dfrac{1}{n(n+1)} \\
&<0 \qquad \text{car }n\pg 1\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=\left(\dfrac{7}{5}\right)^n$.
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\left(\dfrac{7}{5}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{7}{5}\right)^{n} \\
&=\left(\dfrac{7}{5}\right)^{n}\left(\dfrac{7}{5}-1\right)\\
&=\left(\dfrac{7}{5}\right)^{n}\times \dfrac{2}{5} \\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=n^2-n$.
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=(n+1)^2-(n+1)-\left(n^2-n\right) \\
&=n^2+2n+1-n-1-n^2+n \\
&=2n \\
&\pg 0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=-1$ et, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=u_n-n^2$.
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=u_n-n^2-u_n \\
&=-n^2 \\
&\pp 0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=u_n\left(1+3u_n\right)$.
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=u_n\left(1+3u_n\right)-u_n \\
&=u_n\left(1+3u_n-1\right) \\
&=3{u_n}^2 \\
&\pg 0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$

[collapse]

$\quad$