Exercices – Factorisation (facteur commun)

Factorisation

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1    Factorisation par un réel (numérique)

Factoriser les expressions suivantes :

$A=7a+21$
$\quad$
$B=14a-35$
$\quad$
$C=10x+5$
$\quad$
$D=27x-36$
$\quad$

Correction Exercice 1

$A=7a+21 = 7\times a + 7\times 3 = 7(a+3)$
$\quad$
$B=14a-35=7\times 2a-7\times 5=7(2a-5)$
$\quad$
$C=10x+5=5\times 2x+5\times 1=5(2x+1)$
Remarque : il ne faut surtout pas oublié le $1$.
$\quad$
$D=27x-36=9\times 3x-9\times 4=9(3x-4)$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2    Factorisation par un réel (littéral)

Factoriser les expressions suivantes :

$A=a^2+2a$
$\quad$
$B=3a^2-6a$
$\quad$
$C=12x^2-14x$
$\quad$
$D=27x^4-18x^3-15x^2$
$\quad$

Correction Exercice 2

$A=a^2+2a=a\times a+a\times 2=a(a+2)$
$\quad$
$B=3a^2-6a=3a\times a-3a\times 2=3a(a-2)$
$\quad$
$C=12x^2-14x=2x\times 6x-2x\times 7=2x(6x-7)$
$\quad$
$D=27x^4-18x^3-15x^2=3x^2\times 9x^2-3x^2\times 6x-3x^2\times 5=3x^2\left(9x^2-6x-5\right)$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3    Facteur commun

Factoriser

$A=5(x+1)+x(x+1)$
$\quad$
$B=(x-1)(2x+3)+(x-1)(5x-2)$
$\quad$
$C=(2x-5)(4x-3)-(2x-5)(3x-1)$
$\quad$
$D=2(3x-1)(x+3)-3(x+3)(4x+1)$
$\quad$
$E=7(x-7)-x(x-7)+4(x-7)$
$\quad$
$F=(2x+5)(3x-7)-(2x+5)(5x-3)$
$\quad$
$G=(5x+7)(x-1)+(x-1)(3x-4)$
$\quad$
$H=(3x-2)(x-5)+(x-5)^2$
$\quad$
$I=(x+7)(5x+2)-3(5x+2)^2$
$\quad$
$J=(3x-4)(2x+3)-(2x-3)(3x-4)$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}A&=5\underline{(x+1)}+x\underline{(x+1)}\\
&=(x+1)(5+x)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\underline{(x-1)}(2x+3)+\underline{(x-1)}(5x-2)\\
&=(x-1)\left[(2x+3)+(5x-2)\right]\\
&=(x-1)(2x+3+5x-2)\\
&=(x-1)(7x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\underline{(2x-5)}(4x-3)-\underline{(2x-5)}(3x-1)\\
&=(2x-5)\left[(4x-3)-(3x-1)\right]\\
&=(2x-5)(4x-3-3x+1)\\
&=(2x-5)(x-2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=2(3x-1)\underline{(x+3)}-3\underline{(x+3)}(4x+1)\\
&=(x+3)\left[2(3x-1)-3(4x+1)\right]\\
&=(x+3)(6x-2-12x-3)\\
&=(x+3)(-6x-5)
\end{align*}$
Remarque : Attention à la gestion des signes dans le crochet
$\quad$
$\begin{align*}E&=7\underline{(x-7)}-x\underline{(x-7)}+4\underline{(x-7)}\\
&=(x-7)(7-x+4)\\
&=(x-7)(11-x)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=\underline{(2x+5)}(3x-7)-\underline{(2x+5)}(5x-3)\\
&=(2x+5)\left[(3x-7)-(5x-3)\right]\\
&=(2x+5)(3x-7-5x+3)\\
&=(2x+5)(-2x-4) \quad(*)\\
&=(2x+5)\left[-2(x+2)\right]\\
&=-2(2x+5)(x+2)
\end{align*}$
Remarque : La forme attendue est $(*)$. Trouver la dernière est parfait ;).
$\quad$
$\begin{align*}G&=(5x+7)\underline{(x-1)}+\underline{(x-1)}(3x-4)\\
&=(x-1)\left[(5x+7)+(3x-4)\right] \\
&=(x-1)(5x+7+3x-4)\\
&=(x-1)(8x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=(3x-2)(x-5)+(x-5)^2\\
&=(3x-2)\underline{(x-5)}+\underline{(x-5)}(x-5)\\
&=(x-5)\left[(3x-2)+(x-5)\right]\\
&=(x-5)(4x-7)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}I&=(x+7)(5x+2)-3(5x+2)^2\\
&=(x+7)\underline{(5x+2)}-3\underline{(5x+2)}(5x+2)\\
&=(5x+2)\left[(x+7)-3(5x+2)\right]\\
&=(5x+2)(x+7-15x-6)\\
&=(5x+2)(-14x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}J&=\underline{(3x-4)}(2x+3)-(2x-3)\underline{(3x-4)} \\
&=(3x-4)\left[(2x+3)-(2x-3)\right] \\
&=(3x-4)(2x+3-2x+3)\\
&=(3x-4)\times 6\\
&=6(3x-4)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4    Facteur commun (subtilités)

Factoriser

$A=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2)$
$\quad$
$B=7x(2x+3)+2x+3$
$\quad$
$C=(3x+5)(x-1)+(x-1)$
$\quad$
$D=(7x-2)(3x+4)-(3x+4)$
$\quad$
$E=(5x-1)(2x+3)-5x+1$
$\quad$
$F=(7x-2)(x-9)+14x-4$
$\quad$
$G=(x+4)^2+(x-4)(x+4)+2x+8$
$\quad$
$H=(2x+6)(x-5)+3x+9$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}A&=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2) \\
&=\underline{(5x-2)}\times 1+4(2x+1)\underline{(5x-2)} \\
&=(5x-2)\left[1+4(2x+1)\right]\\
&=(5x-2)(1+8x+4)\\
&=(5x-2)(5+8x)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=7x(2x+3)+2x+3 \\
&=7x\underline{(2x+3)}+\underline{(2x+3)}\times 1\\
&=(2x+3)(7x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(3x+5)(x-1)+(x-1)\\
&=(3x+5)\underline{(x-1)}+\underline{(x-1)}\times 1\\
&=(x-1)\left[(3x+5)+1\right] \\
&=(x-1)(3x+5+1)\\
&=(x-1)(3x+6)\quad  \text{forme attendue}\\
&=(x-1)(3x+3\times 2)\\
&=3(x-1)(x+2) \quad \text{forme espérée}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(7x-2)(3x+4)-(3x+4)\\
&=(7x-2)\underline{(3x+4)}-\underline{(3x+4)}\times 1\\
&=(3x+4)\left[(7x-2)-1\right]\\
&=(3x+4)(7x-2-1)\\
&=(3x+4)(7x-3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=(5x-1)(2x+3)-5x+1 \\
&=(5x-1)(2x+3)-(5x-1)\\
&=\underline{(5x-1)}(2x+3)-\underline{(5x-1)}\times 1\\
&=(5x-1)\left[(2x+3)-1\right]\\
&=(5x-1)(2x+3-1)\\
&=(5x-1)(2x+2)\quad \text{forme attendue}\\
&=2(5x-1)(x+1)\quad \text{forme espérée}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=(7x-2)(x-9)+14x-4\\
&=\underline{(7x-2)}(x-9)+2\underline{(7x-2)}\\
&=(7x-2)\left[(x-9)+2\right] \\
&=(7x-2)(x-9+2)\\
&=(7x-2)(x-7)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}G&=(x+4)^2+(x-4)(x+4)+2x+8 \\
&=\underline{(x+4)}(x+4)+(x-4)\underline{(x+4)}+2\underline{(x+4)}\\
&=(x+4)\left[(x+4)+(x-4)+2\right] \\
&=(x+4)(x+4+x-4+2)\\
&=(x+4)(2x+2) \quad \text{forme attendue}\\
&=2(x+4)(x+1)\quad \text{forme espérée}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=(2x+6)(x-5)+3x+9 \\
&=2\underline{(x+3)}(x-5)+3\underline{(x+3)}\\
&=(x+3)\left[2(x-5)+3\right]\\
&=(x+3)(2x-10+3)\\
&=(x+3)(2x-7)
\end{align*}$
$\quad$

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