Exercices – Généralités sur les fonctions 2

1. Pour tout nombre réel $x$, $x^2$ existe. Par conséquent la fonction $f$ est définie sur $\R$.
   $\quad$
   $f(0) = 2 \times 0^2 = 0$ $\quad$ $f\left(\sqrt{2}\right) = 2 \times 2 = 4$ $\quad$ $f(-4) = 2 \times (-4)^2 = 32$.
   $\quad$
2. On cherche à résoudre $f(x) = 4$ soit $2x^2 = 4$ et donc $x^2 = 2$.
   Cette équation possède deux solutions : $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$.
   $\quad$
3. Pour tout réel $x$, $2x^2 \ge 0$. Par conséquent $-4$ n’a pas d’antécédent par $f$.
   $\quad$
4. On veut résoudre $2x^2 = \dfrac{5}{4}$ soit $x^2 = \dfrac{5}{8}$.
   Cette équation possède deux solutions : $-\sqrt{\dfrac{5}{8}}$ et $\sqrt{\dfrac{5}{8}}$.

1. $f(x) = 2x+6 – (x^2 + 6x + 9) = -x^2 – 4x – 3$
   $\quad$
   $f(x) = 2(x + 3) – (x+3)^2 = (x+3) \left[ 2 – (x+3) \right] = (x+3)(-x -1)$
   $\quad$
2.  $f(0) = -0^2 – 4 \times 0 – 3 = -3$
   $\quad$
   $f\left(\sqrt{2} \right) = -2 – 4\sqrt{2} – 3 = -5 -4\sqrt{2}$
   $\quad$
   $f(-1) = (-1 + 3)(1 – 1) = 0$
   $\quad$
3. On veut résoudre l’équation $(x+3)(-x – 1) = 0$.
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul. On résout donc les équations suivantes :
   $x+3 = 0$ ou $-x -1 = 0$
   $x=-3$ ou $x=-1$
   $0$ possède donc deux antécédents $-3$ et $-1$.
   $\quad$
   On veut résoudre l’équation $-x^2 – 4x – 3 = -3$ soit $-x^2 – 4x = 0$ et donc $-x(x + 4) = 0$.
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul. On résout donc les équations suivantes :
   $x = 0$ ou $x + 4 = 0$
   $x= 0$ ou $x= -4$.
   $-3$ possède donc deux antécédents $0$ et $-4$.

Pour chaque point $M(x;y)$ on va regarder si $y=f(x)$

$f(0) = \dfrac{0^2}{0+5} = 0$ donc $O$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

$f(1) = \dfrac{1}{1+5} = \dfrac{1}{6}$ donc $A$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

$\dfrac{9}{3 + 5} = \dfrac{9}{8} \ne \dfrac{1}{4}$ donc $B$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On pouvait également dire que $3$ n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction $f$; on ne pouvait donc pas parler de $f(3)$.
$\quad$

$f(-2) = \dfrac{4}{-2 + 5} = \dfrac{4}{3} \ne \dfrac{4}{7}$ donc $C$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-2;2]$. L’abscisse du point $D$ étant $-3$, celui-ci ne peut pas appartenir à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On a pourtant $\dfrac{(-3)^2}{-3+5}=\dfrac{9}{2}$.
$\quad$

1. $\quad$
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   x&-4&-3&-2&-1&~0&~1&~2\\
   \hline
   g(x)&-1 &0,75 &2 &2,75 &3 &2,75&2 \\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. Attention à l’échelle demandée : $OI = OJ = 4$ cm
   
3. a. Graphiquement on constate que $f(-1,5) \approx 2,5$ et $f(-1,5) \approx 2,5$
   $\quad$
   b. $-\dfrac{1}{2}$ ne possède qu’un seul antécédent qui est environ égal à $-3,75$
   $\quad$
4. a. $f(1,5) = – \dfrac{1}{2} \times 1,5^2 + 3 = – \dfrac{2,25}{4} + 3 = \dfrac{39}{16}$
   $f(-1,5) = – \dfrac{1}{2} \times (-1,5)^2 + 3 = – \dfrac{2,25}{4} + 3 = \dfrac{39}{16}$
   $\quad$
   b. On veut résoudre $-\dfrac{1}{4}x^2 + 3 = -\dfrac{1}{4}$ soit $-x^2  + 12 = -1$ donc $x^2 = 13$.
   Sur $[-4;2]$, cette équation ne possède qu’une seule solution $-\sqrt{13}$.

1. $f(2) = 2$
   $\quad$
2. $f(0) = 0$ $\quad$ $f(1) = -2$ et $f(-2) = -2$.
   $\quad$
3. L’équation $f(x) = -2$ possède deux solutions : $-2$ et $1$.
   $\quad$
4. Les antécédents de $2$ sont : $-1$ et $2$.
   $\quad$
5. La solution de l’inéquation $f(x) \le 2$  est $]-\infty;2]$.
   $\quad$
6. La solution de l’inéquation $f(x) > 0$ est environ $]-1,75;0[\cup]1,75;+\infty[$.

1. $V(30) = \dfrac{\pi}{48} \times 30^3 + 30 \times 30^2 + 300 \times 30 $ $= \dfrac{1~125\pi}{2} + 36~000 $$\text{ cm}^3 \approx 37~767$
   $\quad$
2. On veut calculer $V(15)$.
   $V(15) = \dfrac{\pi}{48} \times 15^3 + 30 \times 15^2 + 300 \times 15 $ $=\dfrac{1~125\pi}{16} + 11~250$ $\approx 11~471 \text{ cm}^3$
   On a donc rempli moins de la moitié du récipient.
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   x&0&2&4&6&8&10&12&14 \\\\
   \hline
   V(x) & 0~~~&721~&1684&2894&4354&6065&8033&10260 \\\\
   \hline
   x&16&18&20&22&24&26&28&30 \\\\
   \hline
   V(x)&12748&15502&18524&21817&25385&29230&33357&37767 \\\\
   \hline
   \end{array}$
4. $\quad$
   
5. Graphiquement on constate qu’il faut que la hauteur d’eau soit environ de $20$ cm pour remplir la moitié du récipient.

1. $0 \to 0 \to 1 \to 4 \to 4$ . L’image de $0$ est donc $4$.
   $-50 \to -100 \to -99 \to -396 \to -346$. L’image de $-50$ est $-346$.
   $14,5 \to 29 \to 30 \to 120 \to 105,5$. L’image de $14,5$ est $105,5$.
   $\quad$
2. Si $x$ est le nombre choisi.
   Les calculs effectués sont $x \to 2x \to 2x+1 \to 4(2x+1) \to 4(2x+1) – x$
   On obtient donc au final $8x+4-x = 7x+4$.
   On veut obtenir le nombre $0$. On doit donc résoudre l’équation $7x+4=0$ soit $7x= -4$ et par conséquent $x= – \dfrac{4}{7}$.
   L’antécédent de $0$ est $- \dfrac{4}{7}$.
   $\quad$
3. On veut donc résoudre l’équation $7x+4 = 110,4$ soit $7x = 106,4$ et donc $x = \dfrac{106,4}{7} = 15,2$.
   On doit donc choisir le nombre $15,2$.
   $\quad$
4. Choisir un nombre réel
   Élever le nombre au carré
   Multiplier le résultat par $2$
   Soustraire $100$
   Diviser par $2$