Exercices de maths corrigés - Généralités sur le fonctions

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+5$

Déterminer les images de $-1$ et de $3$.
$\quad$
Calculer $f(2)$ et $f(-3)$.
$\quad$
Déterminer le ou les antécédent(s) de $4$ et de $0$.

Correction Exercice 1

On veut donc calculer :
$f(-1) = -2 + 5 = 3$ $\qquad$ $f(3) = 6 + 5 = 11$
$\quad$
$f(2) = 4 + 5 = 9$ $\qquad$ $f(-3) = -6 + 5 = -1$
$\quad$
On cherche la ou les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 4$ soit $2x+5 = 4$ d’où $2x=-1$ et $x = -\dfrac{1}{2}$.
L’antécédent de $4$ est $-\dfrac{1}{2}$
$\quad$
On cherche maintenant les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 0$ soit $2x+5 = 0$ d’où $x= – \dfrac{5}{2}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$.

Vous fournirez, si nécessaire, des valeurs approchées au dixième.

Déterminer graphiquement une valeur approchée de $f(1)$ et de $f(0)$.
$\quad$
Déterminer graphiquement le ou les antécédent(s) de $0,5$, de $2$ et de $-1$.
$\quad$
Déterminer l’ensemble de définition de $f$.

Correction Exercice 2

$f(1) = 0$ et $f(0) \approx 1,2$
Les antécédents de $0,5$ sont (environ) : $-1,9$ ; $0,4$ ; $1,7$ et $2,8$
$\quad$
Les antécédents de $2$ sont (environ) : $-1,7$ et $-0,4$.
$\quad$
$-1$ n’a pas d’antécédent par $f$.
La fonction $f$ est définie sur $[-2;3]$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)= \dfrac{2 x – 3}{x-1}$.

Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ n’est-elle pas définie?
$\quad$
Déterminer $f(0)$, $f(-1)$ et $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)$.
$\quad$
Déterminer les antécédents de $0$; $1$ et $-2$.

Correction Exercice 3

$f$ n’est pas définie pour la valeur de $x$ qui annule son dénominateur.
Or $x-1 = 0 \Leftrightarrow x=1$
$f$ n’est donc pas définie en $1$.
$\quad$
$f(0) = \dfrac{-3}{-1} = 3$ $\qquad$ $f(-1) = \dfrac{-2 – 3}{-1 – 1} = \dfrac{5}{2}$
$\quad $
$f\left(-\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{-1 – 3}{-\dfrac{1}{2} – 1} = \dfrac{-4}{-\dfrac{3}{2}} = -4 \times \dfrac{-2}{3} = \dfrac{8}{3}$
$\quad$
On cherche à résoudre :
$f(x) = 0$ soit $\dfrac{2 x – 3}{x – 1} = 0$ par conséquent $2 x – 3 = 0$ donc $x = \dfrac{3}{2}$.
L’antécédent de $0$ est $\dfrac{3}{2}$
$\quad$
$f(x) = 1$ soit $\dfrac{2 x – 3}{x – 1} = 1$ par conséquent $2 x – 3 = x – 1$ donc $x = 2$ .
L’antécédent de $1$ est $2$
$\quad$
$f(x) = -2$ soit $\dfrac{2 x – 3}{x – 1} = -2$ par conséquent $2 x – 3 = -2(x – 1)$ ce qui nous amène à $2x -3 = -2x + 2$ soit $4x = 5$.
L’antécédent de $-2$ est $\dfrac{5}{4}$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = – \dfrac{1}{2}x^2+2x -1$.

Compléter le tableau de valeurs suivant.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\\\
\hline
f(x) & & & & & & \\\\
\hline
\end{array}$$

Correction Exercice 4

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\\\
\hline
f(x) & -7& -\dfrac{7}{2} &-1 & \dfrac{1}{2} & 1 & \dfrac{1}{2} \\\\
\hline
\end{array}$$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Dans chacun des cas, représenter sur une droite graduée l’appartenance à l’intervalle.
a. $x \in ]2;6[$.
$\quad$
b. $x\in ]-\infty;1]$
$\quad$
c. $x\in ]5;+\infty[$
$\quad$
Traduire chaque inégalité sous la forme de l’appartenance à un intervalle.
a. $-2<x \le 3$
$\quad$
b. $3>x$
$\quad$
c. $1 \le x$

Correction Exercice 5

$\quad$
a. Si $-2<x \le 3$ alors on a $x \in ]-2;3]$
$\quad$
b. Si $3>x$ alors on a $x \in ]-\infty;3[$
$\quad$
c. Si $1 \le x$ alors on a $x \in [1;+\infty[$

[collapse]