TS – Exercices – Intégration 1

Exercice 1

Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle donné.

1. sur $\R$ : $f(x) = (3x+1)^2$ et $F(x) = 3x^3+3x^2+x$
   $\quad$
2. sur $]0;+\infty[$ : $f(x) = \dfrac{2(x^4-1)}{x^3}$ et $F(x) = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2$

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 2

Trouver les primitives des fonctions suivantes sur l’intervalle $I$ considéré.

1. $f(x) = x^2-3x+1$ sur $I = \R$
   $\quad$
2. $f(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ sur $I = ]0;+\infty[$
   $\quad$
3. $f(x) = \dfrac{2}{x^3}$ sur $I = ]0;+\infty[$

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 3

Trouver la primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.

1. $f(x) = x + \dfrac{1}{x^2}$ $\quad$ $I=]0;+\infty[$ et $x_0=1$ , $y_0 = 5$.
   $\quad$
2. $f(x) = x^2-2x – \dfrac{1}{2}$ $\quad$ $I=\R$ et $x_0=1$ , $y_0 = 0$.
   $\quad$
3. $f(x) = \dfrac{3x-1}{x^3}$ $\quad$ $I=]0;+\infty[$ et $x_0=3$ , $y_0 = 2$.

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 4

1. La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-5~;~5]$.
   On pose $A=\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \: \mathrm{d} x$ . Un encadrement de $A$ est :
   A : $0 <A < 1$
   B : $1< A < 2$
   C : $3 < A < 4$
   D : $4 < A <5$
   $\quad$
2. La courbe $(\mathscr{C})$ tracée ci-dessous représente une fonction $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé.
   Cette affirmation est-elle vraie ?
   Proposition :  $2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x \leqslant 3$
   $\quad$
3. On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ dans un repère du plan
   La valeur de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ est :
   A : $\text{e} – 2$
   B : $2$
   C : $1/4$
   D : $\ln (1/2)$
   $\quad$
4. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.
   
   À l’aide de la figure, justifier que la valeur de l’intégrale
   $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est comprise entre $2$ et $4$.
   $\quad$
5. On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal, la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;20]$.
   
   Par lecture graphique :
   Déterminer un encadrement, d’amplitude $4$, par deux nombres entiers de $I = \displaystyle\int_{4}^{8} f(x)\:\text{d}x$.
   $\quad$
6. La courbe $\mathscr{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction $f$.
   
   Par lecture graphique
   a. Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale à $I = \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\:\mathrm{d}x$ unités d’aires.
   $\quad$
   b. Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :
   A : $0 \leqslant I \leqslant 9$
   B : $10 \leqslant I \leqslant 12$
   C : $20 \leqslant I \leqslant 24$

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) =x\ln x$.

Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

Soit $\mathscr{A}$ l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.

On utilise l’algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l’aire $\mathscr{A}$. (voir la figure ci-après).

Algorithme :

Variables

$\quad$ $k$ et $n$ sont des entiers naturels
$\quad$ $U, V$ sont des nombres réels

Initialisation

$\quad$ $U$ prend la valeur 0
$\quad$ $V$ prend la valeur 0
$\quad$ $n$ prend la valeur 4

Traitement

$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $n – 1$
$\quad$ $\quad$  Affecter à $U$ la valeur $U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)$
$\quad$ $\quad$  Affecter à $V$ la valeur $V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)$
$\quad$ Fin pour

Affichage

$\quad$ Afficher $U$
$\quad$ Afficher $V$

1. a. Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ?
   $\quad$
   b. Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l’algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ?
   $\quad$
   c. En déduire un encadrement de $\mathscr{A}$.
   $\quad$
2. Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par :
   $$\begin{array}{l c l}
   U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\\\
   V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]
   \end{array}.$$
   On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathscr{A} \leqslant V_{n}$.
   a. Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} – U_{n} < 0,1$.
   $\quad$
   b. Comment modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette d’obtenir un encadrement de $\mathscr{A}$ d’amplitude inférieure à $0,1$ ?

$\quad$

Correction