Exercices – TS – limites de fonctions

Exercice 1

Déterminer dans chacun des cas la limite demandée.

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} \dfrac{1}{-2x – 6}$
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) (x-3)\right)$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} \dfrac{1-4x}{x-3}$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} \dfrac{x^3}{4-2x}$
    $\quad$
  5. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x}$
    $\quad$
  6. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x+5}{\sqrt{-x}}$
    $\quad$
  7. $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \dfrac{-2x}{3x+6}$
Correction Exercice 1

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} (-2 x -6) = 0^-$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} \dfrac{1}{-2x – 6} = -\infty$
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)  = +\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} (x-3) = -3$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) (x-3)\right) = -\infty$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} (1-4x) = -11$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} (x-3) = 0^+$ donc
    $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} \dfrac{1-4x}{x-3} = -\infty$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} x^3 = 8$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} (4-2x) = 0^+$ donc
    $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} \dfrac{x^3}{4-2x} = +\infty$
    $\quad$
  5. $\dfrac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x} = \dfrac{x\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x} + \dfrac{2}{x} – 3\right)}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x} – 3$.
    Or $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x} = 0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x} = -3$
    $\quad$
  6. $\dfrac{2x+5}{\sqrt{-x}} = \dfrac{2x}{\sqrt{-x}} + \dfrac{5}{\sqrt{-x}}$ $= -2\sqrt{-x}+\dfrac{5}{\sqrt{-x}}$.
    Or $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} -2\sqrt{-x}=-\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{5}{\sqrt{-x}} = 0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x+5}{\sqrt{-x}} = -\infty$
    $\quad$
  7. $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} -2x = 4$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} (3x + 6) = 0^-$
    Donc $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \dfrac{-2x}{3x +6} = -\infty$

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer les limites suivantes :

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5}$
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5}$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{4x(-x-1)}{\left(x^2+2\right)(x+3)}$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-5)}$
    $\quad$
  5. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2+5x -1}{4x^2+x+1}$
Correction Exercice 2

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5} =$ $ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x}{x^2} $ $= \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x} = 0^+$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5} =$ $ \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x}{x^2} $ $= \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2}{x} = 0^-$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{4x(-x-1)}{\left(x^2+2\right)(x+3)}$ $ = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-4x^2-4x}{x^3+3x^2+2x +6}$ $ = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-4x^2}{x^3}$ $ = \dfrac{-4}{x} = 0^-$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-5)}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{x^2-3x -10} $ $= \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3}{x^2}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x = -\infty$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.
    $\quad$
  5. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2+5x -1}{4x^2+x+1}$ $ = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2}{4x^2} $ $=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} -\dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{4}$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.

 

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$\quad$

 

Exercice 3

Déterminer les limites suivantes:

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{-2x^2-x+3}{x-1}$
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \rightarrow -4} \dfrac{x^2+4x}{-x^2-2x+8}$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \rightarrow 9^-} \dfrac{\sqrt{9-x}}{x^2-81}$
Correction Exercice 3

  1. On constate que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$. Tel quel, on est en présence d’une forme indéterminée.
    Essayons de factoriser $-2x^2-x+3$. $\Delta = 1+24 = 25 >0$.
    Il y a donc deux racines réelles. $x_1 = \dfrac{1 – 5}{-4} = 1$ et $\dfrac{1+5}{-4} = -\dfrac{3}{2}$.
    Ainsi $\dfrac{-2x^2-x+3}{x-1} = \dfrac{-2(x -1)\left(x + \dfrac{3}{2} \right)}{x-1} =-2\left( x + \dfrac{3}{2}\right)$ pour tout $x \ne 1$.
    Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{-2x^2-x+3}{x-1}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow 1} -2\left(x + \dfrac{3}{2}\right) = -5$
    $\quad$
  2. On constate que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$.
    $\dfrac{x^2+4x}{-x^2-2x+8} = \dfrac{x(x+4)}{-(x -2)(x +4)}$ $=\dfrac{-x}{x -2}$ pour $x \ne -4$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow -4} \dfrac{x^2+4x}{-x^2-2x+8}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -4} \dfrac{-x}{x -2} = – \dfrac{2}{3}$
    $\quad$
  3. On constate encore une fois que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$.
    $\dfrac{x^2-4}{\sqrt{2} – \sqrt{x}} $ $= \dfrac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}$ $= \dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)(x+2)}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}$ $=-\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)(x+2)$ pour tout $x \ne 2$.
    Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow 2^+}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)(x+2)$ $=-8\sqrt{2}$
    $\quad$
  4. Là encore, on constate que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$.
    $\dfrac{\sqrt{9-x}}{x^2-81} = \dfrac{\sqrt{9-x}}{(x – 9)(x + 9)} = \dfrac{-1}{(x + 9)\sqrt{9 – x}}$ pour $x\ne 9$.
    Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 9^-} \dfrac{\sqrt{9-x}}{x^2-81}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow 9^-} \dfrac{-1}{(x + 9)\sqrt{9 – x}}$ $ = -\infty$

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$\quad$

Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus \{-2;1 \}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+5x+1}{x^2+x-2}$.

Combien d’asymptotes possède la courbe représentative de cette fonction? Déterminer leur équation.

Correction Exercice 4

Étudions tout d’abord les limites en $\pm \infty$.

D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$ $=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$
De même $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$

La courbe représentative de la fonction $f$ admet donc une asymptote horizontale d’équation $y=1$.

$\quad$

Étudions maintenant les limites en $-2$

$\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} (x^2+5x + 1) = -5$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} x^2+x-2 = 0^+$

Donc $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} f(x) = -\infty$

On obtient de même que $\lim\limits_{x \rightarrow -2^+} f(x)= +\infty$

$\quad$

Étudions enfin les limites en $1$

$\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} x^2+5x+1=8$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} x^2+x-2=0^-$

Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} f(x) = -\infty$

On obtient de même que $\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x)=+\infty$

$\quad$

Ainsi la courbe représentative de $f$ possède également deux asymptotes verticales d’équation $x=1$ et $x=-2$.

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$\quad$

Exercice 5

Soient $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\{-1;1\}$ par $f(x) = \dfrac{3x^2-4}{x^2-1}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative.

$\quad$

  1. Montrer que $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote horizontale.
    $\quad$
  2. Etudier sa position relative par rapport à  cette asymptote.
    $\quad$
  3. Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x)$.
    $\quad$
  4. Que peut-on en déduire?
    $\quad$
  5. Existe-t-il une autre valeur pour laquelle cela soit également vrai?
Correction Exercice 5

  1. D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré on a :
    $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = $ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{3x^2}{x^2} = 3$
    De même $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 3$.
    $\quad$
    Par conséquent $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=3$
  2. Étudions le signe de $f(x)-3$
    $\begin{align} f(x)-3 &= \dfrac{3x^2-4}{x^2-1} – 3 \\\\
    &= \dfrac{3x^2-4 -3^\left(x^2-1\right)}{x^2-1} \\\\
    &= \dfrac{-1}{x^2-1}
    \end{align}$
    $x^2-1$ est positif sur $]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$ et négatif sur $]-1;1[$.
    $\quad$
    Par conséquent $\mathscr{C}_f$ est au dessus de l’asymptote horizontale sur $]-1;1[$ et au-dessous sur $]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) = +\infty$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x) = -\infty$
    $\quad$
  4. On en déduit donc que $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote verticale d’équation $x=1$.
    $\quad$
  5. $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} x^2-1 = 0^+$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} f(x) = -\infty$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} x^2-1 = 0^-$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} f(x) = +\infty$
    $\quad$
    $\mathscr{C}_f$ possède donc une seconde asymptote verticale d’équation $x=-1$.

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