Exercices TS – Limites de suites et récurrence

Exercice 1

Déterminer la limite des suites suivantes :

  1. $u_n=\dfrac{n^2-1}{n+1}$ pour tout $n$ entier naturel.
    $\quad$
  2. $u_n=\dfrac{n^3-1}{3n^2+5n^4}$ pour tout $n$ entier naturel non nul.
    $\quad$
  3. $u_n=\dfrac{1-n^3}{n-5n^4}$ pour tout $n$ entier naturel non nul.
    $\quad$
  4. $u_n=\dfrac{2n^4-1}{n^2+5n^4}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $u_n=\dfrac{n^2-1}{n+1}=\dfrac{(n+1)(n-1)}{n+1}=n-1$
    $\lim\limits_{n \to +\infty} n-1=+\infty$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{n^3-1}{3n^2+5n^4} \\
    &=\dfrac{n^3\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)}{n^4\left(\dfrac{3}{n^2}+5\right)} \\
    &=\dfrac{1-\dfrac{1}{n^3}}{n\left(\dfrac{3}{n^2}+5\right)}
    \end{align*}$
    $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1-\dfrac{1}{n^3}=1$
    $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{3}{n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n^2}+5=5$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} n\left(\dfrac{3}{n^2}+5\right)=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{1-n^3}{n-5n^4} \\
    &=\dfrac{n^3\left(\dfrac{1}{n^3}-1\right)}{n^4\left(\dfrac{1}{n^3}-5\right)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{n^3}-1}{n\left(\dfrac{1}{n^3}-5\right)}
    \end{align*}$
    $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}-1=-1$
    $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^3}-5=-5$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} n\left(\dfrac{1}{n^3}-5\right)=-\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{2n^4-1}{n^2+5n^4} \\
    &=\dfrac{n^4\left(2-\dfrac{1}{n^4}\right)}{n^4\left(\dfrac{1}{n^2}+5\right)} \\
    &=\dfrac{2-\dfrac{1}{n^4}}{\dfrac{1}{n^2}+5}
    \end{align*}$
    $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^4}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 2-\dfrac{1}{n^4}=2$
    $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}+5=5$
    Par conséquent$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{2}{5}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer les limites des suites suivantes :

  1. $u_n=\dfrac{n^2-\sin n}{n+1}$ pour tout $n$ entier naturel.
    $\quad$
  2. $u_n=n^2-(-1)^n$ pour tout $n$ entier naturel.
    $\quad$
  3. $u_n=\dfrac{\sin\left(n^2\right)}{n}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} -1\pp \sin n \pp 1 &\ssi -1 \pp -\sin n \pp 1 \\
    & \ssi n^2-1\pp n^2-\sin n \pp n^2+1 \\
    & \ssi \dfrac{n^2-1}{n+1} \pp u_n \pp \dfrac{n^2+1}{n+1} \\
    &\ssi \dfrac{(n+1)(n-1)}{n+1} \pp u_n \pp \dfrac{n^2+1}{n+1} \\
    &\ssi n-1\pp u_n \pp \dfrac{n^2+1}{n+1}
    \end{align*}$
    On a donc $u_n \pg n-1$
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} n-1 = +\infty$
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty} = +\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} -1\pp (-1)^n \pp 1 &\ssi -1 \pp -(-1)^n \pp 1 \\
    &\ssi n^2-1 \pp u_n \pp n^2+1
    \end{align*}$
    On a donc $u_n \pg n^2-1$
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} n^2-1 = +\infty$
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty} = +\infty$
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
    $-1 \pp \sin\left(n^2\right) \pp 1 \ssi -\dfrac{1}{n^2} \pp u_n \pp \dfrac{1}{n^2}$
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} -\dfrac{1}{n^2}=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0$
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$
    $\quad$

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$\quad$


$\quad$

Exercice 3

Déterminer les limites des suites suivantes :

  1. $u_n=\dfrac{0,5^n-0,2^n}{2^n+1}$ pour tout $n$ entier naturel non nul.
    $\quad$
  2. $u_n=\ds \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{2^k}$ pour tout $n$ entier naturel.
    $\quad$
  3. $u_n=\ds \sum_{k=0}^n\left(\dfrac{3}{2}\right)^k$ pour tout $n$ entier naturel.
    $\quad$
  4. $u_0=4$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$ et $-1<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n-0,2^n=0$
    $1<2$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n+1=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
  2. $u_n=\ds \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{2^k}=\dfrac{1-\dfrac{1}{2^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{2}}=2\left(1-\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)$
    $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^{n+1}}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$
    $\quad$
  3. $u_n=\ds \sum_{k=0}^n \left(\dfrac{3}{2}\right)^k=\dfrac{1- \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{3}{2}}$
    $1<\dfrac{3}{2}$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}=+\infty$
    Ainsi  $\lim\limits_{n\to +\infty}1-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}=-\infty$
    De plus $1-\dfrac{3}{2}<0$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$
    $\quad$
  4. Montrons par récurrence $1\pp u_{n+1} \pp u_nest décroissante.
    Initialisation : Si $n=0$ $u_0=4$ et $u_1=\sqrt{4}=2$ donc $1 \pp u_n \pp u_0$
    La propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $1\pp u_{n+1}\pp u_n$
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$ : $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$
    On sait que $1 \pp u_{n+1}\pp u_n$ et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $\sqrt{1} \pp \sqrt{u_{n+1}} \pp \sqrt{u_n}$ soit $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$.
    On en déduit donc que cette suite est convergente.
    On appelle $\ell$ sa limite.
    Elle vérifie donc $\ell=\sqrt{\ell} \ssi \ell-\sqrt{\ell}=0 \ssi \sqrt{\ell}\left(\sqrt{\ell}-1\right)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $\sqrt{\ell}=0$ ou $\sqrt{\ell}-1=0$
    Soit $\ell=0$ ou $\ell=1$.
    La suite est minorée par $1$ donc $\ell \neq 0$
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty}=1$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Les suites suivantes sont-elles monotones?

  1.  $u_n = \dfrac{n-1}{n+1}$
    $\quad$
  2. $v_n = \dfrac{n+3}{2n}$
    $\quad$
  3. $w_n = \sqrt{n}-n$

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align} u_{n+1}-u_n &= \dfrac{n+1-1}{n+1+1} – \dfrac{n-1}{n+1} \\\\
    &=\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{n-1}{n+1}\\\\
    &=\dfrac{n(n+1)-(n-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\\\
    &=\dfrac{n^2+n-(n^2+2n-n-2)}{(n+1)(n+2)}\\\\
    &=\dfrac{n^2+n-(n^2+n-2)}{(n+1)(n+2)}\\\\
    &=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}
    \end{align}$
    Or pour tout $n \in \N$ $(n+1) > 0$ et $(n+2) > 0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n >0$.
    La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} v_{n+1}-v_n &= \dfrac{n+1+3}{2(n+1)}-\dfrac{n+3}{2n} \\\\
    &=\dfrac{n+4}{2(n+1)}-\dfrac{n+3}{2n}\\\\
    &=\dfrac{n(n+4)-(n+3)(n+1)}{2n(n+1)}\\\\
    &=\dfrac{n^2+4n-(n^2+4n+3)}{2n(n+1)}\\\\
    &=\dfrac{-3}{2n(n+1)}
    \end{align}$
    Or pour tout entier $n > 0$, $(n+1)>0$.
    Par conséquent la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par $f(x) =\sqrt{x}-x$.
    Cette fonction est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}-1$ $=\dfrac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.
    Or pour tout $x> \dfrac{1}{4}$, $f'(x)<0$.
    Puisque $w_n = f(n)$, cela signifie donc que pour tout entier naturel $n\ge 1$ la suite $(w_n)$ est strictement décroissante.
    On constate que $w_0=w_1=0$. La suite $(w_n)$ est donc décroissante sur $\N$ et strictement décroissante sur $\N^*$.

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$\quad$

 

Exercice 5

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=5$ et $u_{n+1} = -\dfrac{1}{2}u_n + 3$.

Montrer par récurrence que $(u_n)$ est bornée par $\dfrac{1}{2}$ et $5$.

$\quad$

Correction Exercice 5

Initialisation : $u_0 = 5$ par conséquent $\dfrac{1}{2} \le u_0 \le 5$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : Supposons la propriété vraie  au rang $n$ : $\dfrac{1}{2} \le u_n \le 5$.

On a ainsi : $-\dfrac{5}{2} \le -\dfrac{1}{2} u_n \le -\dfrac{1}{4}$
Soit $-\dfrac{5}{2} + 3 \le -\dfrac{1}{2} u_n + 3\le -\dfrac{1}{4} + 3$
Finalement $\dfrac{1}{2} \le u_{n+1} \le \dfrac{11}{4} < 5$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout entier naturel, $\dfrac{1}{2} \le u_n \le 5$.

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$\quad$

 

Exercice 6

Déterminer les limites en $+\infty$ de :

  1. $u_n = \dfrac{n}{5} + 7 – \dfrac{3n}{n^2+4}$
    $\quad$
  2. $u_n = \dfrac{6n^2-3n+7}{n^2+n+1}$
    $\quad$
  3. $u_n = \sqrt{\dfrac{3n^2-1}{5n+4}}$
    $\quad$
  4. $u_n = n^2 \left(\sqrt{3-\dfrac{2}{n}}-\sqrt{3}\right)$
    $\quad$
  5. $u_n = \dfrac{3n-\sqrt{9n^2+1}}{\sqrt{n^2+5}}$
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $u_n = \dfrac{n}{5} + 7 – \dfrac{3n}{n^2\left(1+\dfrac{4}{n} \right)}$ $=\dfrac{n}{5} + 7 – \dfrac{3}{1+\dfrac{4}{n}}$.
    $\quad$
    Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac{4}{n} = 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{3}{1+\dfrac{4}{n}} = 3$.
    $\quad$
    Mais $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n}{5} = +\infty$.
    $\quad$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$
    $\quad$
  2. $u_n=\dfrac{n^2\left(6-\dfrac{3}{n} + \dfrac{7}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right)}$ $ = \dfrac{6 – \dfrac{3}{n} +\dfrac{7}{n^2}}{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}}$.
    $\quad$
    Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0$
    $\quad$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 6 – \dfrac{3}{n} +\dfrac{7}{n^2} = 6$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2} = 1$.
    $\quad$
    Finalement $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = 6$
    $\quad$
  3. $\dfrac{3n^2 – 1}{5n+4} = \dfrac{n^2\left(3-\dfrac{1}{n^2} \right)}{n\left(5 + \dfrac{4}{n}\right)}$ $ = \dfrac{n\left(3-\dfrac{1}{n^2}\right)}{5+\dfrac{4}{n}}$
    $\quad$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{3n^2 – 1}{5n+4} = +\infty$.
    $\quad$
    On a donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align} u_n &= n^2 \left(\sqrt{3-\dfrac{2}{n}}-\sqrt{3}\right) \times \dfrac{\sqrt{3-\dfrac{2}{n}}+\sqrt{3}}{\sqrt{3 -\dfrac{2}{n}}+\sqrt{3}} \\\\
    &= n^2 \dfrac{3~ – \dfrac{2}{n} – 3}{\sqrt{3 -\dfrac{2}{n}}+\sqrt{3}}\\\\
    &=n^2 \dfrac{-\dfrac{2}{n}}{\sqrt{3-\dfrac{2}{n}}+\sqrt{3}}\\\\
    &=\dfrac{-2n}{\sqrt{3-\dfrac{2}{n}}+\sqrt{3}}
    \end{align}$
    $\quad$
    Mais $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}3-\dfrac{2}{n} = 3$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{3-\dfrac{2}{n}}+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
    $\quad$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = -\infty$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align} u_n &= \dfrac{3n-\sqrt{9n^2+1}}{\sqrt{n^2+5}} \times \dfrac{3n+\sqrt{9n^2+1}}{3n+\sqrt{9n^2+1}} \\\\
    &=\dfrac{9n^2 – (9n^2+1)}{\sqrt{n^2+5} \times \left(3n+\sqrt{9n^2+1} \right)} \\\\
    &=\dfrac{-1}{\sqrt{n^2+5} \times \left(3n+\sqrt{9n^2+1} \right)}
    \end{align}$
    $\quad$
    Mais $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n^2+5} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 3n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{9n^2+1} = +\infty$
    $\quad$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

  1. Montrer que pour tout entier naturel $k \ge 2$, $\dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n \ge 2$, on a $\displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2} \le 1$
    $\quad$
  3. Utiliser ce résultat pour montrer que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \ge 2$ par $u_n=\displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}$ est convergente.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $\dfrac{1}{k-1} – \dfrac{1}{k} = \dfrac{k – (k-1)}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k(k-1)}$
    $\quad$
    Or puisque, pour tout $k \ge 1$, $k-1 \le k$ on a alors $k(k-1) \le k^2$ et par conséquent $\dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{k(k-1)}$.
    $\quad$
    On a donc $\dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$.
    $\quad$
  2. $0 \le \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{2-1} – \color{red}{\dfrac{1}{2}} + \color{red}{\dfrac{1}{3-1}} – \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{k-1} – \dfrac{1}{k}$
    $\quad$
    Dans le membre de droite, les termes s’annulent deux à deux . Il ne reste plus alors que $1-\dfrac{1}{n}$
    $\quad$
    Par conséquent $\displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2} \le 1 – \dfrac{1}{n} \le 1 $
    $\quad$
  3. $u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} >0$
    La suite $(u_n)$ est donc croissante et majorée par $1$. On en déduit donc qu’elle converge.

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \ge 1$ par $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

  1. Démontrer que $\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}} \le u_n \le \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$.
    $\quad$
  2. Quelle est la limite de la suite $(u_n)$?
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. $\quad$
    $\begin{align} u_n &= \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\\\
    &=\dfrac{\left(\sqrt{n+1} – \sqrt{n} \right) \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\\\
    &=\dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\\\
    &=\dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
    \end{align}$
    $\quad$Or $\sqrt{n} \le \sqrt{n+1}$ donc $2\sqrt{n} \le \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \le 2\sqrt{n+1}$.
    $\quad$
    Par conséquent $\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}} \le u_n \le \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2\sqrt{n}} = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2\sqrt{n+1}} = 0$
    $\quad$
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0$

[collapse]

$\quad$