Exponentielle – Ex2

Exercice 2

Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}^x+1}$ est impaire.

Correction

Une fonction est impaire sur $\R$ si, et seulement si, $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in \R$.

$\begin{align} f(-x) &=  \dfrac{\text{e}^{-x}-1}{\text{e}^{-x}+1} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{1}{\text{e}^x}-1}{\dfrac{1}{\text{e}^x}+1} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{1 – \text{e}^x}{\text{e}^x}}{\dfrac{1+\text{e}^x}{\text{e}^x}} \\\\
&= \dfrac{1 – \text{e}^x}{1+\text{e}^x} \\\\
&= – \dfrac{\text{e}^x – 1}{1 + \text{e}^x} \\\\
&= – f(x)
\end{align}$

La fonction $f$ est donc bien impaire sur $\R$.