Exponentielle – Ex4

Exercice 4

Dans chacun des cas, justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et fournir la dérivée de $f$ sur $\R$.

  1. $f(x) = \text{e}^x + 2x – \text{e}^3$
    $\quad$
  2. $f(x) = 2x\text{e}^x$
    $\quad$
  3. $f(x) = (5x^2-2x)\text{e}^x$
    $\quad$
  4. $f(x) = \left(\text{e}^x + 2\right)\left(\text{e}^x – \text{e}\right)$
    \quad
  5. $f(x) = \dfrac{2\text{e}^x – 1}{\text{e}^x + 3}$

Correction

  1. $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$. Elle est donc également dérivable sur $\R$.
    $f'(x) = \text{e}^x + 2$
    $\quad$
  2. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$. Elle est donc également dérivable sur $\R$.
    $f'(x) = 2\text{e}^x + 2x\text{e}^x = 2\text{e}^x (1+x)$
    $\quad$
  3. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$. Elle est donc également dérivable sur $\R$.
    $f'(x) = (10x -2)\text{e}^x + (5x^2-2x)\text{e}^x $ $ = \text{e}^x (10x – 2 +5x^2 – 2x)$ $=\text{e}^x(5x^2 + 8x – 2)$
    $\quad$
  4. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$. Elle est donc également dérivable sur $\R$.
    $f'(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x – \text{e}\right) + \text{e}^x\left(\text{e}^x+2\right)$ $ = \text{e}^{x}\left(\text{e}^x – \text{e} + \text{e}^x + 2\right)$ $=\text{e}^x\left(2\text{e}^x- \text{e} + 2\right)$
    $\quad$
  5. $f$ est un quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $f(x) = \dfrac{2\text{e}^x\left(\text{e}^x + 3\right) – \text{e}^x\left(2\text{e}^x – 1\right)}{\left(\text{e}^x +3\right)^2} $ $=\dfrac{\text{e}^x\left(2\text{e}^x + 6 – 2\text{e}^x + 1\right)}{\left(\text{e}^x + 3\right)^2}$ $=\dfrac{7\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3\right)^2}$