Exponentielle – Ex5

Correction

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   $f'(x) = \text{e}^x + x\text{e}^x = (x + 1)\text{e}^x$.
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+1$.
   Par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$ et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   $f'(x) = -2x\text{e}^x + (2 -x^2)\text{e}^x = \text{e}^x(-2 x + 2 – x^2)$.
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-x^2 – 2x + 2$.
   On calcule le discriminant : $\Delta = (-2)^2 – 4 \times 2 \times (-1) = 12 > 0$.
   Il y a donc deux racines réelles : $x_1 = \dfrac{2 – \sqrt{12}}{-2} = -1 + \sqrt{3}$ et $x_2 = -1 – \sqrt{3}$.
   Puisque $a=-1<0$, la fonction est donc décroissante sur les intervalles $\left]-\infty;-1-\sqrt{3}\right]$ et $\left[-1+\sqrt{3};+\infty\right[$ et croissante sur $\left[-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right]$
   $\quad$
3. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule jamais.
   $f'(x) = \dfrac{\left(1  +\text{e}^x\right)\text{e}^x – \text{e}^x\left(x + \text{e}^x\right)}{\left(\text{e}^x\right)^2} = \dfrac{\text{e}^x\left(1 + \text{e}^x- x -\text{e}^x\right)}{\text{e}^{2x}}$ $=\dfrac{(1 – x)\text{e}^x}{\text{e}^{2x}}$ $=\dfrac{1 – x}{\text{e}^x}$
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1 – x$.
   Par conséquent la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty[$.
   $\quad$
4. La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R^*$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R^*$.
   $f'(x)=\dfrac{x\text{e}^x-\text{e}^x}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x(x – 1)}{x^2}$.
   La fonction exponentielle et la fonction $x \mapsto x^2$ étant strictement positive sur $\R^*$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x – 1$.
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;1]$ et croissante sur $[1;+\infty[$.
   $\quad$
5. La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R^*$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R^*$.
   $f'(x) = \dfrac{-\text{e}^x}{\left(\text{e}^x – 1\right)^2}$.
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R^*$, $f'(x) < 0$ sur $\R^*$.
   La fonction $f$ est donc décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.