Exponentielle – Ex6

Exercice 6

  1. Démontrer que, pour tout $x \in \R$, on a $1 + x \le \text{e}^x$.
    $\quad$
  2. a. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e}$.
    $\quad$
    b. Démontrer également que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^n \le \dfrac{1}{\text{e}}$.
    $\quad$
  3.  En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a :
    $$\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e} \le \left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^{-n}$$
    $\quad$
  4. En prenant $n = 1~000$ en déduire un encadrement de $\text{e}$ à $10^{-4}$.

Correction

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^x – (1 + x)$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    $f'(x) = \text{e}^x – 1$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $\text{e}^0 = 1$.
    Donc $f'(x) \le 0$ sur $]-\infty;0]$ et $f'(x) \ge 0$ sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    La courbe représentant la fonction $f$ admet donc un minimum en $0$ et $f(0) = 1 – (1 + 0) = 0$.
    Par conséquent, pour tout $x \in \R$, $f(x) \ge 0$ et $1 + x \le \text{e}^x$.
    $\quad$
  2. a. On pose $x = \dfrac{1}{n}$. On a alors $ 1 +\dfrac{1}{n} \le \text{e}^{\frac{1}{n}}$.
    Et en élevant les deux membres à la puissance $n$ on obtient :
    $$\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e}$$
    b. On pose cette fois-ci $x = -\dfrac{1}{n}$. On obtient ainsi  $ 1 -\dfrac{1}{n} \le \text{e}^{-\frac{1}{n}}$.
    En élevant les deux membres à la puissance $n$ on obtient :
    $$\left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e}^{-1}$$
    soit
    $$\left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^n \le \dfrac{1}{\text{e}}$$
  3. On a ainsi, d’après la question 2b, $\text{e} \le \left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^{-n}$.
    Ainsi en reprenant cette inégalité et celle trouvée à la question 2a on a bien :
    $$\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e} \le \left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^{-n}$$
  4. Si on prend $n = 1~000$ et qu’on utilise l’encadrement précédent on trouve :
    $$2,7169 \le \text{e} \le 2,7196$$