Expressions algébriques Ex 5 -

Exercice 5

Dans chacun des cas résoudre l’équation $A= 0$.

$A = (2x – 3)^2 – (x + 2)^2$
$\quad$
$A = (x – 1)^2 – 9$
$\quad$
$A = 4x^2 – 9$
$\quad$
$A = (x + 1)^2 – (4x + 1)^2$

Correction

Il faut tout d’abord factoriser cette expression.
$A = (2x – 3)^2 – (x + 2)^2 = \left[(2x – 3) – (x +2)\right]\left[(2x – 3) + (x + 2)\right]$ $=(x – 5)(3x – 1)$
On est alors ramené à résoudre l’équation produit $(x – 5)(3x – 1) = 0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Soit $x – 5 = 0$ et $x = 5$
Soit $3x – 1 = 0$ et $x = \dfrac{1}{3}$
Les solutions de l’équation sont donc $5$ et $\dfrac{1}{3}$.
$\quad$
On factorise également cette expression.
$A = (x – 1)^2 – 9 = (x – 1)^2 – 3^2 $ $= (x – 1 – 3)(x – 1 + 3)$ $ =(x – 4)(x + 2)$
On doit donc résoudre l’équation produit $(x – 4)(x + 2) = 0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Soit $x – 4 = 0 $ et $x = 4$
Soit $x + 2 = 0$ et $x = -2$
Les solutions de l’équation sont donc $4$ et $-2$.
$\quad$
On doit encore factoriser cette expression.
$A = 4x^2 – 9 = (2x)^2 – 3^2 = (2x – 3)(2x + 3)$
On résout donc l’équation produit $(2x – 3)(2x + 3) = 0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Soit $2x – 3 = 0$ et $x = \dfrac{3}{2}$
Soit $2x + 3 = 0$ et $x = – \dfrac{3}{2}$
Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$.
$\quad$
Factorisons cette expression.
$\begin{align} A &= (x + 1)^2 – (4x + 1)^2 \\\\
&= \left[(x + 1) – (4x + 1)\right] \left[(x + 1) + (4x + 1)\right] \\\\
&= -3x(5x + 2)
\end{align}$
On résout maintenant l’équation produit $-3x(5x + 2) = 0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Soit $-3x =0$ et $x = 0$
Soit $5x + 2 = 0$ et $x = -\dfrac{2}{5}$
Les solutions de l’équations sont donc $-\dfrac{2}{5}$ et $0$.