Géométrie dans l’espace – ex 1

Correction

1. $\quad$
   
2. $\quad$
   
3. La longueur du rectangle du patron du cylindre correspond au périmètre du cercle : $2 \times \pi \times 1 = 2\pi \approx 6,28$ cm
   
4. Pour obtenir la hauteur de la pyramide dans la perspective cavalière on applique le théorème de Pythagore dans le carré pour obtenir la longueur $L$ d’une diagonale :
   $L^2 = 3^2+3^2 = 18$. Donc $L = \sqrt{18} =3\sqrt{2}$.
   Une demi-diagonale mesure donc $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
   La pyramide étant régulière, le segment joignant le centre du carré au sommet, la hauteur donc, est perpendiculaire à chacune des diagonales . On sait, de plus, que toutes les arêtes ont la même longueur.
   On peut de nouveau appliquer le théorème de Pythagore :
   $3^2 = \left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 + h^2$
   Soit $9 = \dfrac{9}{2} + h^2$ par conséquent $h^2 = \dfrac{9}{2}$ et $h = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$
   
5. Pour pouvoir représenter le patron du cône, il faut calculer la longueur de la génératrice ainsi que l’angle du secteur angulaire.
   Le cône étant de révolution, la hauteur du cône est perpendiculaire à chacun des rayons. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore.
   $L^2 = 2^2+4^2 = 20$. Donc $L = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ cm.
   La génératrice a donc une longueur de $2\sqrt{5}\approx 4,47$ cm.
   $\quad$
   Calculons maintenant l’angle du secteur angulaire.
   La longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle associé.
   On a ainsi :
   $$\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   angle(en °)&360&x \\\\
   \hline
   longueur~ de~ l’arc~ (en ~cm) &2\pi L&2\pi\times 2 \\\\
   \hline
   \end{array}$$
   Par conséquent $x = \dfrac{4\pi \times 360}{2\pi L} = \dfrac{720}{L} \approx 161°$