Géométrie dans l’espace – ex 4

Exercice 4

$SABCD$ est un pyramide de base carrée $ABCD$ et de sommet $S$. On appelle $O$ le centre du carré.

On a $SO = 8$ m et $AB = 12$ m.

Calculer l’aire latérale et le volume de $SABCD$.

Correction

pyramide ex4

$SABCD$ est une pyramide régulière. Donc $[SO]$ est la hauteur.

On appelle $I$ le milieu de $[BC]$.

$SOI$ est donc un triangle rectangle en $O$.

D’après le théorème de Pythagore on a alors :

$\begin{align} SI^2 &= SO^2 + OI^2 \\\\
&=8^2 + \left(\dfrac{12}{2}\right)^2\\\\
& = 100\\\\
SI &= 10
\end{align}$

$\quad$

La pyramide étant régulière, toutes ses faces latérales sont des triangles isocèles et les médianes issues de $S$ sont aussi des hauteurs.

L’aire du triangle $SBC$ est donc :
$\mathscr{A} $ $= \dfrac{SI \times BC}{2}$ $ = \dfrac{10 \times 12}{2}$ $ = 60 \text{m}^2$

L’aire latérale de la pyramide est $4 \times 60 = 240 \text{m}^2$.