Polynésie – TSTMG – Septembre 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé du sujet est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

1. $\quad$
   $\begin{align} f'(x) &= \dfrac{2x(x+1000) – x^2}{(x+1000)^2}\\\\
   &= \dfrac{2x^2+2000x-x^2}{(x+1000)^2}\\\\
   &= \dfrac{x^2+2000x}{(x+1000)^2}
   \end{align}$
   $\quad$
2. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+2000x$.
   Or $x^2+2000x=x(x+2000)$.
   
3. $\quad$
   $\begin{align} f(x)=500 & \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{x+1000} – 500 \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{x+1000} – \dfrac{500(x+1000)}{x+1000} \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{x^2-500x-500000}{x+1000}\\\\
   & \Leftrightarrow x^2-500x-500000
   \end{align}$
   On calcule le discriminant : $\Delta = 2~250~000 = 1~500^2$.
   Il y a donc deux solutions : $x_1 = \dfrac{500 – \sqrt{\Delta}}{2} = \dfrac{500-1500}{2} = -500$ et $x_2 = \dfrac{500 + 1500}{2} = 1000$

Partie B

1. $\quad$
   
2. Chiffre d’affaire : $g(1~400)=0,6 \times 1~400 = 840$ milliers d’euros
   Coût : $f(1~400)  \approx 817$ milliers d’euros.
   Le chiffre d’affaire sera supérieur au coût.

 

Exercice 2

Première partie

1. $U_1 = 59,9 + 0,25 = 60,15$
   $U_2 = 60,15 + 0,25 = 60,4$
   $U_3 = 60,4 + 0,25 = 60,65$
   $\quad$
2. La suite $(U_n)$ étant arithmétique on a : $U_n=59,9+0,25n$.
   $\quad$
3. $U_66 = 59,9 + 0,25 \times 66 = 76,4$.
   $\quad$
4. Entre $1946$ et $2012$ les hommes ont gagné en réalité $78,5-59,9 = 18,6$ ans.
   Sur ces $66$ années, ils ont gagné en moyenne $\dfrac{18,6}{66}$ an soit $\dfrac{18,6 \times 12}{66} \approx 3,4$ mois.
   Les hommes ont donc gagné plus de $3$ mois d’espérance de vie chaque année en moyenne.

 

Deuxième partie

1. Le taux d’évolution globale de l’espérance de vie entre $1946$ et $2012$ est :
   $$\dfrac{78,5-59,9}{59,9} \approx 0,31$$
2. Pour les femmes, le taux d’évolution globale est :
   $$\dfrac{84,9 -65,2}{65,2} \approx  0,30$$
   Le teux d’évolution globale est donc plus élevé pour les hommes.
   $\quad$
3. On cherche la valeur de $T$ telle que :
   $$59,9 \left(1+\dfrac{T}{100}\right)^{66} = 78,5$$
   Par conséquent $\left(1+\dfrac{T}{100}\right)^{66} = \dfrac{78,5}{59,9}$
   Soit $1+ \dfrac{T}{100} = \left(\dfrac{78,5}{59,9} \right)^{\frac{1}{66}}$
   On obtient ainsi $1 + \dfrac{T}{100} \approx 1,0041$
   Finalement $\dfrac{T}{100} \approx 0,0041$ et $T \approx 0,41$.
   Le taux annuel moyen est donc de $0,41\%$

 

Troisième partie

1. Cet algorithme calcule le taux annuel moyen sur une période donnée.
   $\quad$
2. Dans un premier temps $T$ prend la valeur $\dfrac{84,9-65,2}{65,2} \approx 0,3021$.
   $T$ prend ensuite la valeur $\left(1+0,3021 \right)^{\frac{1}{66}} \approx 1,0040$
   Enfin $T$ prend la valeur $(1,0040-1) \times 100 \approx 0,40$.

 

Exercice 3

1. On cherche $P(X \le 71) \approx 0,0228$. Réponse A
   $\quad$
2. $P(71 \le X \le 79) \approx 0,9544$. Réponse B
   $\quad$
3. A la calculatrice. Réponse D

 

Exercice 4

1. La probabilité d’interroger un redoublant est $\dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}$
   $\quad$
2. La probabilité cherchée est $\dfrac{22}{27}$
   $\quad$
3. $p(G) = \dfrac{9}{36} = 0,25$ donc $p(F) = 0,75$
   
   $\quad$
4. On cherche $p(F \cap R) = 0,75 \times 0,57 = 0,4275\approx 0,43$
   $\quad$
5. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $$p(R) = 0,25 \times 0,22 + 0,75 \times 0,57 = 0,4825 \approx 0,48$$
   Donc $p_R(G) = \dfrac{p(G \cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,25 \times 0,78}{0,4825} \approx 0,40$.