Produit scalaire dans le plan – Révisions 1S

Produit scalaire dans le plan – Révisions 1S

Propriété 1 : Les 4 expressions du produit scalaire : (en pratique, la première expression est peu utilisée)

  • Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan : $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-\left\|\vec{u}\right\|^2-\left\|\vec{v}\right\|^2\right)$.
  • Dans un repère orthonormé \Oij, si on a $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}\left(x’;y’\right)$ alors $\vec{u}.\vec{v}=xx’+yy’$.
  • $A, B$ et $C$ sont tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=\left\|\vec{u}\right\|\times \left\|\vec{v}\right\| \times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=AB\times AC \times \cos \widehat{BAC}$.
  • Soient $A, B$ et $C$ trois points de l’espace et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.
    On a : $\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}.\vect{AH}$.
    De plus $\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}\times \vect{AH} = \begin{cases} AB \times AH & \text{si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ ont le même sens}\\-AB \times AH & \text{si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ n’ont pas le même sens}\end{cases}$.

Illustration de la quatrième expression du produit scalaire

 

Application 1 :

Dans chaque cas, calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$ (ou $\vec{u}.\vec{v}$ pour le cas 2) :

$\quad$

Correction Application 1

Cas 1 :
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\vect{AH} \\
&=AB\times AH \\
&= 6\times 4\\
&= 24\end{align*}$.

Cas 2 : On a $\vec{u}(4;2)$ et $\vec{v}(1;2)$. Donc :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=4\times 1+2\times 2\\
&=8\end{align*}$.

Cas 3 :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC \times \cos \widehat{BAC} \\
&= 2\times 2 \times \cos \dfrac{2\pi}{3}\\
&= -2\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

À quoi ça sert?

Première utilisation : démontrer que des vecteurs sont orthogonaux

Définition 1 :

  • $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls. Dire que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux signifie que si $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{CD}$ alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
  • Par convention, le vecteur nul $\vec{0}$ est orthogonal à tout autre vecteur.

 

Priopriété 2 :

$\vec{u}.\vec{v}=0$ si, et seulement si, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Application 2 :

Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs $\vect{AB}(-2;3)$ et $\vect{CD}(6;4)$.
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont-ils orthogonaux? Justifier.

$\quad$

Correction Application 2

$\vect{AB}.\vect{CD}=-2\times 6+3\times 4=-12+12=0$

Par conséquent les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont orthogonaux.

$\quad$

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$\quad$

Deuxième utilisation : avec la deuxième expression. Déterminer l’équation cartésienne d’un plan.

Définition 2 :

Dire qu’un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à une droite $(d)$ signifie que $\vec{n}$ est orthogonal à un vecteur directeur de la droite $(d)$.

$\quad$

Propriété 2 (Conséquence) :

Soit $(d)$ la droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}$.
Alors $(d)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{AM}.\vec{n}=0$.

Application 3 :

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $(d)$ passant par le point $A(2;3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(4;5)$. Soit $M(x;y)$ un point de $(d)$.
Traduire l’égalité $\vect{AM}.\vec{n}=0$ afin d’obtenir une équation cartésienne de $(d)$.

$\quad$

Correction Application 3

On a $\vect{AM}(x-2;y-3)$.
Par  conséquent :
$\begin{align*} \vect{AM}.\vec{n}=0&\ssi 4(x-2)+5(y-3) =0 \\
&\ssi 4x-8+5y-15=0\\
&\ssi 4x+5y-23=0
\end{align*}$

Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $4x+5y-23=0$.

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$\quad$

Propriété 3 : 

  • Une droite $(d)$ de vecteur normal $\vec{n}(a;b)$ a une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ où $c$ est un nombre réel.
  • La droite $(d)$ d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec $(a;b)\neq (0;0)$ admet le vecteur $\vec{n}(a,b)$ pour vecteur normal.

Application 4 :

Dans un repère orthonormé, on a $A(5;-2)$, $B(2;-1)$ et $C(1;3)$. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de $A$ du triangle $ABC$.

$\quad$

Correction Application 4

On appelle $(h)$ la hauteur issue de $A$ dans le triangle $(ABC)$.
Par conséquent le vecteur $\vect{BC}$ est un vecteur normal à la droite $(h)$. On a $\vect{BC}(-1;4)$.

Par conséquent une équation cartésienne de la droite $(h)$ est de la forme $-x+4y+c=0$.
Le point $A(5;-2)$ appartient à la droite $(h)$.
Par conséquent : $-5+4\times (-2)+c=0 \ssi c=13$.

Une équation cartésienne de la droite $(h)$ est donc $-x+4y+13=0$.
$\quad$

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$\quad$


$\quad$

 

Exercices

 

Exercice 1

Dans chaque cas, calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$ en justifiant la réponse.

$\quad$

Correction Exercice 1

Figure 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=3\times 2\times \cos 120\text{°} \\
&=-3
\end{align*}$

Figure 2

On a $\vect{AB}(4;0)$ et $\vect{AC}(-2;3)$.

Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=4\times (-2)+0\times 3=-8$

Figure 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
$AC^2=AB^2+BC^2 \ssi 25=AB^2+9 \ssi AB^2=16$

$\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}.\vect{AB}=AB^2=16$
Le point $B$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

  1. $(d)$ est la droite de vecteur normal $\vec{n}(2;-1)$ et passant par le point $A\left(-5;\dfrac{1}{2}\right)$.
    Déterminer une équation de $(d)$.
    $\quad$
  2. Soient $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ les droites d’équations respectives $5x-4y+8=0$ et $y=2x+3$.
    Pour chacune d’elles, déterminer les coordonnées d’un vecteur normal.
    $\quad$
  3. $(d)$ et $(d’)$ sont deux droites d’équations respectives : $3x-5y+2=0$ et $2x+\dfrac{6}{5}y=0$.
    a. Préciser un vecteur directeur et un vecteur normal pour chacune de ces droites.
    $\quad$
    b. Démontrer que ces droites sont perpendiculaires.
    $\quad$
  4. Soit $D(-2;2)$, $E(4;-1)$ et $F(1;3)$.
    Déterminer une équation de la droite perpendiculaire à $(DE)$ passant par $F$.
    $\quad$
  5. Soit $(d)$ la droite d’équation $5x-3y+1=0$.
    Déterminer une équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à $(d)$ passant par le point $P(2;-1)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Une équation de la droite $(d)$ est de la forme $2x-y+c=0$.
    Le point $A\left(-5;\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la droite $(d)$. Donc :
    $\begin{align*} 2\times (-5)-\dfrac{1}{2}+c=0&\ssi -10-\dfrac{1}{2}+c=0 \\
    &\ssi c=\dfrac{21}{2}
    \end{align*}$
    Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $2x-y+\dfrac{21}{2}=0$.
    $\quad$
  2. Un vecteur normal à la droite $\left(d_1\right)$ d’équation cartésienne $5x-4y+8=0$ est $\vect{u_1}(5;-4)$
    Une équation de droite $\left(d_2\right)$ est $y=2x+3$.
    Donc une équation cartésienne de cette droite est $2x-y+3=$. Un vecteur normal à la droite $\left(d_2\right)$ est $\vect{u_2}(2;-1)$.
    $\quad$
  3. a. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est $3x-5y+2=0$.
    Un vecteur directeur à cette droite est donc $\vec{u}(5;3)$ et un vecteur normal est $\vec{n}(3;-5)$
    $\quad$
    Une équation cartésienne de la droite $(d’)$ est $2x+1,2y=0=0$.
    Un vecteur directeur à cette droite est donc $\vec{u’}(-1,2;2)$ et un vecteur normal est $\vec{n’}(2;1,2)$
    $\quad$
    b. On a $\vec{u}.\vec{u’}=5\times (-1,2)+3\times 2=-6+6=0$
    Les vecteurs directeurs des deux droites sont donc orthogonaux.
    Par conséquent, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  4. On a $\vect{DE}(6;-3)$.
    Une équation de la droite $(d)$perpendiculaire à $(DE)$ passant par $F$ est donc de la forme $6x-3y+c=0$.
    Le point $F(1;3)$ appartient à cette droite. Par conséquent :
    $6\times 1-3\times 3+c=0 \ssi c=3$
    Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $6x-3y+3=0$ soit $2x-y+1=0$.
    $\quad$
  5. Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(3;5)$.
    Ce vecteur est donc normal à la droite $(d)$.
    Une équation cartésienne de la droite $\Delta$ est, par conséquent, de la forme $3x+5y+c=0$.
    Le point $P(2;-1)$ appartient à la droite $\Delta$. Donc :
    $3\times 2+5\times (-1)+c=0 \ssi c=-1$.
    Une équation cartésienne de la droite $\Delta$ est donc $3x+5y-1=0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

$ABCD$ et $BEFG$ sont deux carrés placés comme sur la figure ci-dessous.
Que peut-on dire des droites $(AG)$ et $(EC)$? Justifier la réponse.

$\quad$

Correction Exercice 3

Première méthode : en utilisant des décompositions selon des vecteurs orthogonaux.

On a, d’après la relation de Chasles : $\vect{AG}=\vect{AB}+\vect{BG}$ et $\vect{EC}=\vect{EB}+\vect{BC}$
Ainsi :

$\begin{align*}
\vect{AG}.\vect{EC}&=\left(\vect{AB}+\vect{BG}\right).\left(\vect{EB}+\vect{BC}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{EB}+\vect{AB}.\vect{BC}+\vect{BG}.\vect{EB}+\vect{BG}.\vect{BC} \\
&=-AB\times BE+0+0+BG\times BC \quad (*)\\
&=-AB\times BE+BE\times AB \quad (**)\\
&=0
\end{align*}$
$(*)$ $ABCD$ et $BEFG$ sont deux carrés donc les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ d’une part et $\vect{BG}$ et $\vect{EB}$ d’autre part sont orthogonaux. De plus $\vect{AB}$ et $\vect{EB}$ sont deux vecteurs colinéaires de sens contraire.
$(**)$ $ABCD$ et $BEFG$ sont deux carrés donc $BG=BE$ et $AB=BC$.

Les vecteurs $\vect{AG}$ et $\vect{EC}$ sont orthogonaux. Les droites $(AG)$ et $(EC)$ sont donc perpendiculaires.

$\quad$

Deuxième méthode : en utilisant le repère orthonormé $\boldsymbol{\left(A;\vect{AB},\vect{AD}\right)}$

On a, dans ce repère $A(0;0)$,  $C(1;1)$, $E(1+x;0)$ et $G(1;x)$ où $x$ est un réel strictement positif.

Ainsi $\vect{AG}(1;x)$ et $\vect{EC}(-x;1)$.
D’où $\vect{AG}.\vect{EC}=-x+x=0$.

Les vecteurs $\vect{AG}$ et $\vect{EC}$ sont orthogonaux. Les droites $(AG)$ et $(EC)$ sont donc perpendiculaires.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=5$ et $AD=2$.

  1. Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$.
    $\quad$
  2. En déduire la valeur approchée par défaut au dixième de degré près de la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}\times \vect{AB}=AB^2=25$ car $B$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. On a également $\vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}$.
    Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AC^2=AB^2+BC^2=25+4=29$.
    Donc $AC=\sqrt{29}$.
    Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=5\sqrt{29}\cos \widehat{BAC}$.
    En utilisant le résultat de la question 1. on obtient donc :
    $5\sqrt{29}\cos \widehat{BAC}=25$
    $\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{25}{5\sqrt{29}}$
    Et donc $\widehat{BAC} \approx 21,8$°.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-2;-2)$, $B(3;1)$ et $C(-1;2)$.
Calculer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ en radians.

$\quad$

Correction Exercice 5

On a $\vect{AB}(5;3)$ et $\vect{AC}(1;4)$. Ainsi $AB=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$ et $AC=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$
Donc $\vect{AB}.\vect{AC}=5\times 1+3\times 4=17$
Mais on a également :
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=\sqrt{34}\times \sqrt{17}\cos \widehat{BAC} \\
&=17\sqrt{2}\cos \widehat{BAC}
\end{align*}$

Par conséquent :
$17\sqrt{2}\cos \widehat{BAC}=17$
$\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\ssi \widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$ rad

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=2$ et $AD=\sqrt{2}$. $I$ est le milieu du segment $[AB]$.
Démontrer que $(AC)$ et $(ID)$ sont perpendiculaires.

$\quad$

Correction Exercice 6

 

En utilisant la relation de Chasles on obtient :

$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{ID}&=\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right).\left(\vect{IA}+\vect{AD}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{IA}+\vect{AB}.\vect{AD}+\vect{BC}.\vect{IA}+\vect{BC}.\vect{AD}\\
&=-AB\times IA+0+0+BC\times AD \\
&=-2\times 1+\sqrt{2}\times \sqrt{2} \\
&=-2+2\\
&=0
\end{align*}$

Les vecteurs $\vect{AC}$ et $\vect{ID}$ sont donc orthogonaux.
Par conséquent, les droites $(AC)$ et $(ID)$ sont perpendiculaires.
$\quad$

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