1ère – E3C – mathématiques – sujet 0

E3C – Contrôle continu

Enseignement de spécialité

Sujet 0 – Mathématiques – Correction

 

Ce sujet de contrôle continu  est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Question 1 : Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^x\right)^3=\e^{3x}$
Réponse c
$\quad$

Question 2 : Pour tout réel $x$ on a $\cos(x+\pi)=-\cos x$. 
Réponse b
$\quad$

Question 3 : $\left(U_n\right)$ est donc une suite arithmétique de raison $3,3$.
Réponse d
$\quad$

Question 4 : Si le discriminant est strictement positif alors la parabole représentant le polynôme du second degré coupe l’axe des abscisses en deux points distincts.
Réponse a
$\quad$

Question 5 : Un vecteur normal à la droite $D$ dont une équation cartésienne est $2x-y+3=0$ est $\vec{n}(2;-1)$.
Réponse c
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-1;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-1;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(-x+2)\e^x \\
    &=(-1-x+2)\e^x \\
    &=(-x+1)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-1;2]$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x+1$.
    Or $-x+1=0\ssi -x=-1 \ssi x=1$
    et $-x+1>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$.
    On obtient donc le table au de variations suivant :

    $\quad$
  2. D’après le tableau de variations précédent, le maximum vaut $f(1)=\e$.
    D’après le graphique $3$ unités représentent $90$ cm. Donc $1$ unité représente $30$ cm.
    Par conséquent $\ell=30\e$ cm.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $P(R\cap T)=0,6\times 0,7=0,42$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(R\cap T)+P\left(\conj{R}\cap T\right) \\
    &=0,42+0,4\times 0,5 \\
    &=0,42+0,2\\
    &=0,62\end{align*}$
    $\quad$
  4. La compagnie d’assurance auto propose deux types de contrats dont les montants annuels sont respectivement de $500$ € et $400$ €.
    Ainsi les deux valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont $400$ et $500$.
    Par conséquent $P(X=500)=P(T)=0,62$ et $P(X=400)=1-P(T)=0,38$.
    L’espérance de $X$ est donc :
    $\begin{align*} E(X)&=500\times P(X=500)+400\times P(X=400) \\
    &=500\times 0,62+400\times 0,38\\
    &=462\end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $I_1=\left(1-\dfrac{20}{100}\right)\times I_0=0,8\times 400=320$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $I_{n+1}=0,8I_n$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(I_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $I_0=400$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $I_n=400\times 0,8^n$.
    $\quad$
  3. a. On veut le rayon initial ait perdu au moins $70\%$ de son intensité lumineuse initiale. Il conserve donc au plus $30\%$ de cette intensité lumineuse.
    $\dfrac{30}{100}\times 400=120$.
    On doit donc prendre $j=120$.
    $\quad$
    b. On a $I_5=131,07>120$ et $I_6=104,85<120$.
    On doit superposer $6$ plaques.
    $\quad$

Énoncé

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