1ère – E3C – série techno – mathématiques – sujet 0

E3C – Contrôle continu

Séries technologiques

Sujet 0 – Mathématiques – Correction

 

Ce sujet de contrôle continu  est disponible ici.

Partie 1

Partie 1

  1. $\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{8}{20}+\dfrac{15}{20}=\dfrac{23}{20}$
    $\quad$
  2. $2-\dfrac{1}{7}=\dfrac{14}{7}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{13}{7}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{12}{5}\times \dfrac{20}{9}=\dfrac{3\times 4\times 4\times 5}{5\times 3\times 3}=\dfrac{16}{3}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{2}{5}\times \ldots = 3$
    Cela signifie que la valeur cherchée est égale à $\dfrac{\quad 3\quad }{\dfrac{2}{5}}=3\times \dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{2}$.
    $\quad$
  5. $8x\times \color{red}{7x^2} \color{black}{=56x^3}$
    $\quad$
  6. $30\%$ de $70$ revient à effectuer le calcul $\dfrac{30}{100}\times 70=21$.
    $30\%$ de $70$ est donc égal à $21$.
    $\quad$
  7. Si $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ alors $T\times \omega= 2\pi$ et $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$.
    $\quad$
  8. $-3x(1-2x)=-3x+6x^2$
    $\quad$
  9. On a :
    $\begin{align*} (x+2)(x-3)-2(x+2)&=(x+2)\left[(x-3)-2\right] \\
    &=(x+2)(x-3-2)\\
    &=(x+2)(x-5)\end{align*}$
    $\quad$
  10. Si $f(x)=x^2-4x$ alors :
    $f(-2)=(-2)^2-4\times (-2)=4+8=12$.
    $\quad$
  11. On appelle $P$ le prix de l’article avant réduction.
    On a donc $\dfrac{20}{100}\times P=7 \ssi P=\dfrac{7\times 100}{20}=35$.
    L’article coûtaient donc initialement $35$ €.
    $\quad$
  12. $2,7\times 10^10=2,7\times 10\times 10^9=27\times 10^9$ soit $27$ milliards.
    $\quad$
  13. L’image de $0$ par la fonction $f$ est $4$.
    $\quad$
  14. Un antécédent de $0$ par la fonction $f$ est $-2$.
    Remarque : on autre antécédent est $2$.
    $\quad$
  15. Les solutions de l’équation $f(x)=3$ sont $-1$ et $1$.
    L’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=3$ est $\left\{-1;1\right\}$.
    $\quad$
  16. L’ensemble des solutions de $f(x)>0$ est $]-2;2[$.
    $\quad$
  17. La droite $\mathscr{D}$ passe par les points de coordonnées $(0;2)$ et $(3;0)$.
    Ces points n’ont pas la même abscisse.
    Le coefficient directeur de la droite est donc $a=\dfrac{0-2}{3-0}=-\dfrac{2}{3}$.
    Le point de coordonnées $(0;2)$ appartient à la droite. L’ordonnées à l’origine est donc $2$.
    L’équation réduite de $\mathscr{D}$ est $y=-\dfrac{2}{3}x+2$.
    $\quad$
  18. D’après le graphique, le tableau de signes de $f$ est :
  19. Si $x=6$ alors $y=2,5\times 6-13=2$.
    Donc $A(6;2)\in \Delta$.
    $\quad$
  20. On cherche la valeur de $x$, nombre négatif, tel que $x^2=3$ donc $x=-\sqrt{3}$.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A : Étude d’une fonction

  1. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=0,005x^2+0,28x$.
    $f$ est donc une fonction du second degré. Elle est par conséquent représentée par une parabole.
    $\quad$
  2. On a $f(x)=0,005x(x+56)$.
    Par conséquent $f(x)=0 \ssi 0,005x(x+56)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $0,005x=0$ ou $x+56=0$
    D’où $x=0$ ou $x=-56$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ coupe donc l’axe des abscisses aux points d’abscisse $0$ et $-56$.
    $\quad$
    Une équation de l’axe de symétrie d’une parabole est $x=-\dfrac{b}{2a}$.
    Ici $a=0,005$ et $b=0,28$.
    Une équation de l’axe de symétrie est donc $x=-28$.
    $\quad$
    $\quad$

Partie B : Sur route humide

  1. En roulant à $80$ km/h la distance d’arrêt du véhicule est d’environ $88$ m.
    En roulant à $90$ km/h la distance d’arrêt du véhicule est d’environ $105$ m.
    $\quad$
  2. Si la distance d’arrêt est de $60$ mètres alors la vitesse du véhicule est environ égale à $65$ km/h.
    $\quad$

$\quad$

Partie C : Sur route sèche

  1. $f(80)=0,005\times 80\times (80+56)=54,4$.
    Cela signifie donc qu’en roulant à $80$ km/h sur route sèche la vitesse d’arrêt est de $54,4$ mètres.
    $\quad$
  2. On obtient le tableau suivant  :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    ~~x~~&0&30&50&70&80&90&110&130\\
    \hline
    f(x)=&~~0~~&~~13~~&~~27~~&~~44~~&~~54~~&~~66~~&~~91~~&~121~\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$

Partie D :

  1. Sur route humide l’écart entre les distances de freinage est environ égal à $105-88=17>13$ mètres.
    L’affirmation est vérifiée sur route humide.
    $\quad$
  2. $f(80)=54,4$ et $f(90)=65,7$
    Sur route sèche l’écart entre les distances de freinage est environ égal à $65,7-54,4=11,3<13$.
    L’affirmation n’est donc pas vérifiée sur route sèche.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $\dfrac{30}{100}\times 1~350=405$
    $2~000-1~040=960$
    $2~000-1~350=650$
    Tous les autres nombres s’obtiennent par différence.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\small{\begin{array}{c}\text{Nombre de sondés ayant}\\ \text{souscrit le forfait M}\end{array}}&\small{\begin{array}{c}\text{Nombre de sondés ayant}\\ \text{souscrit le forfait S}\end{array}}&\text{Total}\\
    \hline
    \small{\begin{array}{c}\text{Nombre de sondés ayant}\\ \text{acheté le téléphone de}\\ \text{modèle A}\end{array}}&635&15&650\\
    \hline
    \small{\begin{array}{c}\text{Nombre de sondés ayant}\\ \text{acheté le téléphone de}\\ \text{modèle B}\end{array}}&405&945&1~350\\
    \hline
    \text{Total}&1~040&960&2~000\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. La fréquence des sondés ayant souscrit un forfait S est $f_S=\dfrac{960}{2~000}=0,48$.
    $\quad$
  3. a. $635$ sondés ont acheté un téléphone de modèle A et ont souscrit un forfait M. La fréquence cherchée est donc $f_a=\dfrac{635}{2~000}=0,317~5$
    $\quad$
    b. $0,317~5<\dfrac{1}{3}$.
    L’affirmation « Moins d’un tiers des sondés choisit la formule la plus économique » est donc vraie.
    $\quad$
  4. $\dfrac{945}{960}\approx 0,98$.
    Si on choisit au hasard un client parmi les sondés qui ont répondu avoir souscrit un forfait S il est donc vrai qu’il y a une très forte probabilité qu’il ait acheté un téléphone de modèle B.
    $\quad$

Partie B

  1. $100-67-15=18$
    $18\%$ des clients interrogés n’ont donc pas répondu à la première question.
    $\quad$
  2. $0,15\times 0,24=0,036$.
    Par conséquent $3,6\%$ des clients interrogés ne sont pas satisfaits des conditions d’achat en raison d’un mauvais accueil.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $189\times \left(1+\dfrac{8}{100}\right)=189\times 1,08=204,12 \approx 204$
    Par conséquent $u(4)\approx 204$.
    $\quad$
  2. On peut saisir la formule $=B2*1,08$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u(n+1)=1,08u(n)$.
    La suite $u$ est donc géométrique de raison $1,08$.
    $\quad$
  4. On obtient le script :
    def nombre_interesses (n) :
    $\quad$ u = 150
    $\quad$ for i in range(n):
    $\qquad$ u=1.08*u
    $\quad$ return u
    $\quad$
  5. a. Les points sur le graphique semblent alignés. On peut donc conjecturer que la suite $v$ est arithmétique.
    $\quad$
    b. On $v(1)-v(0)=198-190=8$.
    La raison de cette suite arithmétique est donc $r=8$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v(n+1)=v(n)+8$.
    Par conséquent :
    $v(2)=v(1)+8=206$
    $v(3)=v(2)+8=214$
    $v(4)=v(3)+8=222$
    $\quad$
  6. On a $u(7)\approx 257$ et $v(7)=246$.
    À un moment donné il y aura donc davantage de personnes intéressées par les photos de Lise que par celles d’Ali.
    Remarque : Sans arrondir à l’unité, on a $u(6)>v(6)$.
    $\quad$

 

Énoncé

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