Bac ES/L – Amérique du Sud – Novembre 2019

Amérique du Sud – Novembre 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} P(X<249)&=P(X<250)-P(249<X<250) \\
    &=0,5-P(249<X<250) \\
    &\approx 0,159 \end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. On a $n=900\pg 30$ et $f=\dfrac{864}{900}$ donc $nf=864\pg 5$ et $n(1-f)=36 \pg 5$.
    Un intervalle de confiance, au seuil de $95\%$, de la proportion de plaquettes de beurre conformes est :
    $\begin{align*} I_{900}&=\left[\dfrac{864}{900}-\dfrac{1}{\sqrt{900}};\dfrac{864}{900}+\dfrac{1}{\sqrt{900}}\right] \\
    &\approx [0,926;0,994]\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On a $n=200\pg 30$ et $p=0,2$ donc $np=40\pg 5$ et $n(1-p)=160\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence observée des tickets gagnants est :
    $\begin{align*} I_{200}&=\left[0,2-1,96\sqrt{\dfrac{0,2\times 0,8}{200}};0,2+1,96\sqrt{\dfrac{0,2\times 0,8}{200}}\right] \\
    &\approx [0,144;0;256]\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable deux fois sur l’intervalle $[0;30]$ en  tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;30]$ on a :
    $f'(x)=3x^2-78x+315$
    $f\dsec(x)=6x-78$
    Or $6x-78=0 \ssi 6x=78 \ssi x=13$
    et $6x-78>0 \ssi 6x>78 \ssi x>13$
    La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe pour $x=13$.
    La courbe $\mathscr{C}$ admet donc un point d’inflexion au point d’abscisse $13$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $u_1=0,96u_0+300=0,96\times 5~000+300=5~100$
    $u_2=0,96u_1+300=0,96\times 5~100+300=5~196$
    Au 1$\ier$ janvier 2020 l’arboriculteur aura $5~196$ pommiers.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-7~500$ donc $u_n=v_n+7~500$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-7~500 \\
    &=0,96u_n+300-7~500 \\
    &=0,96u_n-7~200 \\
    &=0,96\left(v_n+7~500\right)-7~200\\
    &=0,96v_n+7~200-7~200\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-7~500=-2~500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-2~500\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_n=v_n+7~500=7~500-2~500\times 0,96^n$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|l|}
    \hline
    \text{Ligne }1& \hspace{2cm}&n\leftarrow 0 \\
    \text{Ligne }2&&u\leftarrow 5~000\\
    \text{Ligne }3&&\text{Tant que }u\pp 6~000\\
    \text{Ligne }4&& \hspace{1cm} n\leftarrow n+1 \\
    \text{Ligne }5&& \hspace{1cm} u\leftarrow 0,96\times u+300\\
    \text{Ligne }6&&\text{Fin tant que} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les valeurs prises par les variables $n$ et $u$ (arrondies à l’unité)
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n &u\\
    \hline
    0 &5~000\\
    \hline
    1 &5~100\\
    \hline
    2 &5~196\\
    \hline
    3 &5~288\\
    \hline
    4 &5~377\\
    \hline
    5 &5~462\\
    \hline
    6 &5~543\\
    \hline
    7 &5~621\\
    \hline
    8 &5~697\\
    \hline
    9 &5~769\\
    \hline
    10 &5~838\\
    \hline
    11 &5~904\\
    \hline
    12 &5~968\\
    \hline
    13 &6~029\\
    \hline
    \end{array}$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme la variable $n$ a la valeur $13$.
    Cela signifie qu’il faut $13$ années à l’arboriculteur pour atteindre sa capacité maximale.
    $\quad$
  4. $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,96^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=7~500$.
    À terme, cet arboriculteur possèdera $7~500$ pommiers selon ce modèle.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

  1. D’après l’énoncé on a $P(L)=0,7$, $P_L(M)=0,66$ et $P_{\conj{L}}\left(\conj{M}\right)=0,83$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  3. On a$P(L\cap M)=0,7\times 0,66=0,462$
    Cela signifie donc que la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de $5$ heures est égale à $46,2\%$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)&=P(M\cap L)+P\left(M\cap \conj{L}\right) \\
    &=0,462+0,3\times 0,17 \\
    &=0,462+0,051\\
    &=0,513\end{align*}$
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P_M(L)&=\dfrac{P(M\cap L)}{P(M)} \\
    &=\dfrac{0,462}{0,513} \\
    &\approx 0,900~6\end{align*}$
    Par conséquent au moins $90\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de $5$ heures sont licenciés dans un club.
    L’organisateur a donc raison.
    $\quad$
  6. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage, il y a $2$ issues : $M$ et $\conj{M}$.
    De plus $p(M)=0,513$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,513$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(X=4)=\ds \binom{10}{4}\times 0,513^4\times (1-0,513)^6 \approx 0,194$
    La probabilité qu’exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est environ égale à $0,194$
    $\quad$
    c. on veut calculer $P(X \pp 3)=\approx 0,151$ d’après la calculatrice.
    La probabilité qu’au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est environ égale à $0,151$.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. On a donc $g_{n+1}=0,9g_n+0,15s_n$ et $s_{n+1}=0,1g_n+0,85s_n$.
    On obtient donc la matrice de transition suivant $M=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\
    0,15&0,85\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a $P_0=\begin{pmatrix} 0,42&0,58\end{pmatrix}$
    Donc $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix}0,465&0,535\end{pmatrix}$
    D’après ce modèle, $46,5\%$ des cyclistes participeront au grand parcours en 2019.
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=PM\\x+y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 0,9x+0,15y=x\\0,1x+0,85y=y\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,1x+0,15y=0 \\0,1x-0,15y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,1(1-y)+0,15y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,1+0,1y+0,15y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 0,25y=0,1 \\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=0,4\\x=0,6\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, sur le long terme, $60\%$ des cyclistes participeront au grand parcours et $40\%$ des cyclistes participeront au petit parcours.
    Le grand parcours aura donc plus de succès que le petit à long terme.
    $\quad$

Partie B

  1. Les sommets $B$ et $A$ ne sont pas adjacents. Ce graphe n’est donc pas complet.
    Le cycle $A-C-H-B-R-T-A$ contient tous les sommets du graphe. Il est donc connexe.
    $\quad$
  2. On détermine le degré de tous les sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&H&R&T\\
    \hline
    \text{Degré}&4&2&3&4&4&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets ont un degré impair. Le graphe est connexe et possède donc une chaîne eulérienne.
    Il est donc possible de visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois chacune des allées.
    On peut utiliser le trajet suivant : $C-H-A-C-R-B-H-T-R-A-T$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Le nombre de téléspectateurs a diminué entre les années 2000 et 2003 , passant de $460~000$ à environ $300~000$, puis a augmenté a augmenté de 2003 à 2019, passant d’environ $300~000$ à environ $910~000$.
    $\quad$
  2. En 2014, il y avait environ $800~000$ téléspectateurs.
    $\quad$
  3. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$, tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point $A$.
    Ainsi $f'(0)=\dfrac{460-82}{0-3}=-126$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(14)=\left(20\times 14^2-80\times 14+460\right)\e^{-1,4}\approx 804$.
    Il y avait donc environ $804~000$ téléspectateurs le 1$\ier$ janvier 2014$.
    $\quad$
  2. a. La fonction est dérivable sur $[0;29]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;29]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(20\times 2x-80)\e^{-0,1x}+\left(20x^2-80x+460\right)\times (-0,1)\e^{-0,1x} \\
    &=\left(40x-80-2x^2+8x-46\right)\e^{-0,1x} \\
    &=\left(-2x^2+48x-126\right)\e^{-0,1x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On considère l’équation $-2x^2+48x-126=0$
    $\Delta=48^2-4\times (-2)\times (-126)=1~296>0$
    L’équation possède donc deux solutions :
    $x_1=\dfrac{-48-\sqrt{1~296}}{-4}=21$ et $x_2=\dfrac{-48+\sqrt{1~296}}{-4}=3$
    On a bien retrouvé les valeurs fournies par le logiciel.
    $\quad$
    c. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-2x^2+48x-12$.
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    On a $f(3)=400\e^{-0,3}\approx 296$
    $f(21)= 7~600\e^{-2,1}\approx 931$
    $f(29)=14~960\e^{-2,9}\approx 823$
    $\quad$
    d. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;29]$ on a $f(x)\pp f(21)<1~000$.
    Le nombre journalier de téléspectateur de cette chaîne de télévision ne dépassera jamais la barre du million avant l’année 2029.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[3;21]$.
    $f(3)\approx 296 <800$ et $f(21) \approx 931 > 800$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=800$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[3;21]$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve $13<\alpha<14$.
    C’est donc au cours de l’année 2013 que le nombre journalier de téléspectateur de la chaîne de télévision dépassera $800~000$.
    $\quad$
  4. L’audience journalière moyenne de téléspectateur de la chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2018 et le 1$\ier$ janvier 2019 est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{19-18}\ds \int_{18}^{19} f(x)\dx  \\
    &=F(19)-F(18) \\
    &=-169~600\e^{-1,9}+159~000\e^{-1,8}\\
    &\approx 916\end{align*}$
    Sur cette période, l’audience journalière moyenne de la chaîne de télévision était d’environ $916~000$ de téléspectateur.
    $\quad$

 

 

Énoncé

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