Exercice 1

1. La fonction exponentielle est strictement positive.
   Par conséquent $f(x)=0\ssi 2x-3=0 \ssi x=1,5$.
   Réponse b
   $\quad$
2. Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
   Or $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $f'(1)=\dfrac{1}{1}=1$ et $f(1)=0$.
   Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=x-1$.
   Réponse b
   $\quad$
3. $P(X>t)=0,025 \ssi P(X \pp t)=0,975$.
   À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $t\approx 30,88$
   Réponse d
   $\quad$
4. On appelle $T$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[8,5;10]$.
   La probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train est :
   $P(X\pg 9)=P(9\pp X \pp 10)=\dfrac{10-9}{10-8,5}=\dfrac{2}{3}$.
   Réponse b
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. On veut calculer $p(A\cap C)=0,5\times 0,4=0,2$.
   La probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type « Air »est $0,2$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
   $\begin{align*} p(C)&=p(T\cap C)+p(A\cap C)+p(F\cap C) \\
   &=0,3\times 0,5+0,2+0,2\times 0,9 \\
   &=0,53 \end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*}p_C(A)&=\dfrac{p(A\cap C)}{p(C)} \\
   &=\dfrac{0,2}{0,53} \\
   &=\dfrac{20}{53}\\
   &\approx 0,38
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. Il y a $10$ tirages indépendants, aléatoires, identiques.
   À chaque tirage, il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
   De plus $p(T)=0,3$
   La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,3$.
   $\quad$
2. $P(Y=3)=\ds \binom{10}{3}\times 0,3^3\times 0,7^{10-3}\approx 0,27$
   La probabilité que Victor ait obtenu exactement $3$ personnages de type « Terre » au début de ses $10$ parties est environ égale à $0,27$
   $\quad$
3. $P(Y\pg 1)=1-P(Y=0)=1-0,7^{10}\approx 0,97$.
   La probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type « Terre » au début de ses $10$ parties est environ égal à $0,97$.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
   
   $\quad$
2. a. On a donc $\begin{cases} g_{n+1}=0,65g_n+0,42p_n \\p_{n+1}=0,35g_n+0,58p_n\end{cases}$
   On note $A_n=\begin{pmatrix} g_n&p_n\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
   La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,65&0,35\\0,42&0,58\end{pmatrix}$
   $\quad$
   b. On a $A_1=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$
   Par conséquent $A_3=A_1M^2=\begin{pmatrix}0,569~5&0,430~5\end{pmatrix}$.
   Ainsi, la probabilité que Franck gagne la troisième partie est $0,569~5$.
   $\quad$
3. L’état stable $S=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ vérifie :
   $\begin{align*} \begin{cases} S=SM\\x+y=1\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=0,65x+0,42y\\y=0,35x+0,58y\\x+y=1\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} -0,35x+0,42y=0\\0,35x-0,42y=0\\x=1-y\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} -0,35+0,35y+0,42y=0\\x=1-y \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} 0,77y=0,35\\x=1-y \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{5}{11} \\x=\dfrac{6}{11} \end{cases} \end{align*}$
   L’état stable est donc $S=\begin{pmatrix} \dfrac{6}{11}&\dfrac{5}{11}\end{pmatrix}$.
   Cela signifie que sur le long terme, la probabilité que Franck gagne une partie est $\dfrac{6}{11}$.
   $\quad$

Partie B

1. a. Le degré des sommets de ce graphe  est donné par le tableau suivant :
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
   \hline
   \text{Degré}&2&4&4&4&4&4&2\\
   \hline
   \end{array}$
   Tous les degrés sont pairs.
   Le graphe est de plus connexe. Il possède donc un cycle eulérien.
   Il est par conséquent possible, au départ d’une salle quelconque, d’y revenir après avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
   $\quad$
   b. On peut, par exemple, faire le chemin $A-B-F-G-E-F-D-E-C-D-B-C-A$.
   $\quad$
2. Tous les degrés des sommets sont pairs. Le graphe ne possède donc pas de chaîne eulérienne.
   Il n’existe pas, par conséquent, de chemin permettant de se rendre de la salle $A$ à la salle $G$ en passant une et une seule fois par tous les couloirs.
   $\quad$
3. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet} \\
   \hline
   &&&&&&0&G\\
   \hline
   &&&&7(G)&5(G)&&F\\
   \hline
   &27(F)&&8(F)&7(G)&&&E\\
   \hline
   &27(F)&26(E)&8(F)&&&&D\\
   \hline
   &15(D)&13(D)&&&&&C\\
   \hline
   25(C)&15(D)&&&&&&B\\
   \hline
   25(C)&&&&&&&A\\
   \hline
   \end{array}$
   Le chemin permettant d’affronter le moins de chemin est $G-F-D-C-A$.
   Il rencontrera alors $25$ monstres.
   $\quad$

Exercice 3

1. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=0,4$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $0,4$.
   On a $v_{n+1}=1,028v_n$. Par conséquent, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,028$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a alors :
   $$u_n=10+0,4n \quad \text{et} \quad v_n=8\times 1,028^n$$
   $\quad$
2. Cela signifie que c’est à partir du rang $46$ que $v_n\pg u_n$.
   $\quad$
3. a. $u_{10}=8\times 1,028^{10} \approx 10,544$
   Selon ce modèle, la population de l’Angleterre en 1810 était de $10,544$ millions d’habitants environ.
   $\quad$
   b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} u_n \pg 16 &\ssi 8\times 1,028^n \pg 16 \\
   &\ssi 1,028^n \pg 2 \\
   &\ssi n\ln 1,028 \pg \ln 2 \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln 2}{\ln 1,028}
   \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,028} \approx 25,1$.
   Par conséquent $n\pg 26$
   C’est donc à partir de 1826 que la population aurait dépassé $16$ millions d’habitants.
   $\quad$
   c. La suite $\left(u_n\right)$ décrit le nombre d’habitant en Angleterre durant l’année 1800$+n$ et la suite $\left(v_n\right)$ décrit le nombre d’habitants que l’agriculture peut nourrir.
   D’après la réponse à la question 2. c’est à partir de 1846 que la population de l’Angleterre serait devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. La fonction $f$ semble atteindre son maximum en $x_0$ tel que $1\pp x_0 \pp 2$.
   $\quad$
2. a. La fonction $f$ semble convexe sur l’intervalle $[2,8;5]$ (intervalle sur lequel la fonction $f\dsec$ semble être positive).
   $\quad$
   b. La fonction $f\dsec$ change de signe en $x_1$ tel que $2\pp x_1 \pp 3$.
   La fonction $f$ possède donc un point d’inflexion dont l’abscisse est comprise entre $2$ et $3$.
   $\quad$
3. On peut lire que $f'(0)=2$ et $f(0)=0$.
   Une équation de la tangente au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
   Par conséquent une équation de cette tangente est $y=2x$.
   $\quad$
4. $I$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe $C_{f’}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
   $\quad$

Partie B

1. a. Pour tout réel de l’intervalle $[0;5]$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=(2x+2)\e^{-x}-\left(x^2+2x\right)\e^{-x} \\
   &=\left(2x+2-x^2-2x\right) \e^{-x} \\
   &=\left(2-x^2\right)\e^{-x}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[0;5]$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+2$.
   Or $-x^2+2=0\ssi x^2=2\ssi x=-\sqrt{2}$ ou $x=\sqrt{2}$
   Sur l’intervalle $[0;5]$, $-x^2+2=0\ssi x=\sqrt{2}$
   Sur ce même intervalle, $-x^2+2>0 \ssi -x^2>-2\ssi x^2<2\ssi 0\pp x<\sqrt{2}$.
   La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[0;\sqrt{2}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{2};5\right]$.
   Elle atteint son maximum au point d’abscisse $\sqrt{2}$.
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} \ds \int_0^1 f'(x)\dx &=f(1)-f(0) \\
   &=f(1)-\left(0^2+2\times 0\right)\times 1\\
   &=f(1)
   \end{align*}$
   Ces deux valeurs sont donc égales.
   $\quad$

Exercice 1     4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

1. Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ par $f(x)=(2x-3)\e^{-3x}$.
   L’équation $f(x)=0$ admet sur l’intervalle $[-10;10]$.
   a. $0$ solution
   b. $1$ solution
   c. $2$ solutions
   d. $3$ solutions ou plus
   $\quad$
2. Dans un repère $\Oij$ on considère la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \ln(x)$; l’équation de sa tangente au point d’abscisse $1$ est :
   a. $y=1$
   b. $y=x-1$
   c. $y=1-x$
   d. $y=x+1$
   $\quad$
3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=25$ et $\sigma=3$.
   La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t)=0,025$ est :
   a. $t\approx 0,97$
   b. $t\approx 19,12$
   c. $t\approx 28$
   d. $t\approx 30,88$
   $\quad$
4. Anne prévoit d’appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre $8$ h $30$ et $10$ h. Benoît sera dans un train à partir de $9$ h pour un trajet de plusieurs heures.
   Quelle est la probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train ?
   a. $\dfrac{60}{150}$
   b. $\dfrac{2}{3}$
   c. $\dfrac{6}{13}$
   d. $\dfrac{1}{3}$
   $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types : « Terre », « Air » ou « Feu ».

Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.

Le jeu a été programmé de telle sorte que :

• la probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Terre » est $0,3$;
• la probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Air » est $0,5$;
• si la partie débute avec un personnage de type « Terre », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,5$;
• si la partie débute avec un personnage de type « Air », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,4$;
• si la partie débute avec un personnage de type « Feu », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,9$.

On note les événements suivants :

• T : la partie débute avec un personnage de type « Terre »;
• A : la partie débute avec un personnage de type « Air »;
• F : la partie débute avec un personnage de type « Feu »;
• C : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type « Air ».
   $\quad$
3. Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est $0,53$.
   $\quad$
4. On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu en début de partie.
   Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type « Air » ?
   $\quad$

Partie B

On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.
On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type « Terre » est $0,3$.
$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type « Terre » obtenus au début de ses $10$ parties.

1. Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type « Terre » au début de ses $10$ parties.
   $\quad$
3. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type « Terre » au début de ses $10$ parties.
   $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.
Franck joue en ligne sur internet.
Partie A

Après plusieurs semaines, des statistiques données par le logiciel lui permettent de dire que :

• quand il gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est égale à $0,65$;
• quand il perd une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est égale à $0,42$.

On note $G$ l’état : “Franck gagne la partie” et $P$ l’état : “Franck perd la partie”.
Sur une période donnée, on note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

• $g_n$ la probabilité que Franck gagne la $n$-ième partie;
• $p_n$ la probabilité que Franck perde la $n$-ième partie.

Dans cette période, Franck a gagné la première partie

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets notés $G$ et $P$.
   $\quad$
2. a. Écrire la matrice de transition $M$ dans l’ordre $G-P$.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité que Franck gagne la troisième partie.
   $\quad$
3. Déterminer l’état stable du système et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B
Dans ce jeu vidéo, Franck circule dans des catacombes infestées de monstres qu’il doit combattre.

On a représenté ci-dessous le graphe modélisant ces catacombes.
Les sommets représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs.
Les étiquettes du graphe correspondent au nombre de monstres présents dans chaque
couloir.

1. a. Justifier qu’il est possible, au départ d’une salle quelconque, d’y revenir après
   avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
   $\quad$
   b. Donner un tel chemin.
   $\quad$
2. Franck débute le jeu dans la salle A et doit atteindre l’adversaire final en salle $G$.
   Existe-t-il un chemin permettant de se rendre de la salle $A$ à la salle $G$ en passant une et une seule fois par tous les couloirs ?
   $\quad$
3. Une fois arrivé en salle $G$, Franck souhaite revenir en salle A en affrontant le moins de monstres possible afin de recommencer une nouvelle partie.
   Déterminer ce trajet minimal et préciser le nombre de monstres affrontés.
   $\quad$

Exercice 3     5 points

On définit deux suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$ $$\begin{cases} u_0=10\\u_{n+1}=u_n+0,4\end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} v_0=8\\v_{n+1}=1,028v_n\end{cases}$$

1. a. Parmi ces deux suites, préciser laquelle est arithmétique et laquelle est géométrique; donner leur raisons respectives.
   $\quad$
   b. Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de l’entier naturel $n$.
   $\quad$
2. On donne l’algorithme suivant dans lequel $n$ est un entier naturel, et $U$ et $V$ sont des réels qui désignent respectivement les termes de rang $n$ des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   n\leftarrow 0\\
   U\leftarrow 10\\
   V\leftarrow 8\\
   \text{Tant que } U>V\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow U+0,4\\
   \hspace{1cm} V\leftarrow V\times 1,028\\
   \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   En sortie de cet algorithme, $n$ a pour valeur $46$.
   Interpréter ce résultat.
   $\quad$
3. En 1798, l’économiste anglais Thomas Malthus publie “An essay on the principle of population” dans lequel il émet l’hypothèse que l’accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira son pays à la famine.
   Il écrit :
   $\quad$
   “Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n’est arrêtée par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croît de période en période selon une progression géométrique. […] Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de l’état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favorables de l’industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une progression arithmétique.”
   $\quad$
   En 1800, la population de l’Angleterre était estimée à $8$ millions d’habitants et l’agriculture anglaise pouvait nourrir $10$ millions de personnes. Le modèle de Malthus admet que la population augmente de $2,8 \%$ chaque année et que les progrès de l’agriculture permettent de nourrir $0,4$ million de personnes de plus chaque année.
   On utilisera ce modèle pour répondre aux questions suivantes.
   a. Quelle aurait été, en million d’habitants, la population de l’Angleterre en 1810 ?
   On arrondira le résultat au millième.
   $\quad$
   b. À partir de quelle année la population de l’Angleterre aurait-elle dépassé $16$ millions d’habitants ?
   $\quad$
   c. À partir de quelle année la population de l’Angleterre serait-elle devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture ?
   $\quad$

Exercice 4     6 points

On donne ci-dessus la courbe $C_f$ représentative dans un repère donné d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0; 5]$ ainsi que les courbes représentatives $C_{f’}$ et $C_{f\dsec}$ respectivement de la dérivée $f’$et de la dérivée seconde $f\dsec$ de la fonction $f$.

Partie A

Dans cette partie les réponses seront obtenues à l’aide de lectures graphiques.

1. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la
   fonction $f$ semble atteindre son maximum.
   $\quad$
2. a. Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction $f$ semble convexe.
   $\quad$
   b. Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe $C_f$ admet un point d’inflexion. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l’abscisse de ce
   point d’inflexion.
   $\quad$
3. Parmi les équations suivantes quelle est l’équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $0$ ?
   $\begin{array}{llll}
   y=x&y=2x+1&y=2x&y=\dfrac{3}{4}x \end{array}$
   $\quad$
4. On note $I=\ds \int_0^1 f'(x)\dx$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
   Commet s’interprète graphiquement ce nombre $I$?
   $\quad$

Partie B

La fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l’intervalle $[0;5]$ par $f(x)=\left(x^2+2x\right)\e^{-x}$.

1. a. Montrer que la dérivée $f’$ de $f$ est définie par $f'(x)=\left(-x^2+2\right)\e^{-x}$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5]$.
   $\quad$
   b. Déterminer les variations de $f$ sur $[0; 5]$ et préciser l’abscisse de son maximum.
   $\quad$
   c. Donner la valeur arrondie au millième du maximum de $f$ .
   $\quad$
2. Avec un outil de calcul on obtient, pour $\ds \int_0^1 f'(x)\dx$ et $f(1)$, la même valeur approchée $1,103~64$.
   Ces deux valeur sont-elles égales?
   $\quad$