Bac ES/L – Antilles/Guyane – Juin 2019

Antilles/Guyane – juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. “Chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert”.
    On a donc $P(N)=\dfrac{15}{50}=0,3$.
    $\quad$
    “S’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile”.
    Par conséquent $P_N(E)=\dfrac{8}{10}=0,8$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(N\cap E)+P\left(\conj{N}\cap E\right) \\
    &=0,3\times 0,8+0,7\times 0,1\\
    &=0,24+0,07\\
    &=0,31\end{align*}$
    La probabilité que le client gagne un bon d’achat est égale à $0,31$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_E(N)&=\dfrac{P(E\cap N)}{P(E)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,8}{0,31} \\
    &=\dfrac{24}{31} \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,31$.
    $\quad$
  2. On a donc :
    $\begin{align*} \ds P(X=30)&=\binom{100}{30}\times 0,31^{30} \times 0,69^{70} \\
    &\approx 0,085\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $E(X)=np=31$.
    Le montant moyen de la somme totale offerte en bons d’achat est donc $31\times 10=310>250$.
    Le budget prévisionnel n’est par conséquent pas suffisant.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $P(30 \pp Y\pp 60)\approx 0,997$.
    On remarque qu’on a calculé $P(\mu-3\sigma\pp Y\pp \mu+3\sigma)$.
    La probabilité qu’un client pris au hasard dans ce magasin reste entre $30$ et $60$ minutes est environ égale à $0,997$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(X\pg 50)&=P(X\pg 45)-P(45\pp X\pp 50) \\
    &=0,5-P(45\pp X\pp 50) \\
    &\approx 0,159\end{align*}$
    La probabilité qu’un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de $50$ minutes est environ égale à $0,159$.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. On a $u_1=(1+0,05)u_0+20=1,05\times 100+20=125$
    et $u_2=1,05u_1+20=1,05\times 125+20=151,25$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    “la taille augmente d’un mois sur l’autre de $5 \%$ : soit $1,05u_n$.
    “… auxquels s’ajoutent $20$ cm” : donc $u_{n+1}=1,05u_n+20$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n+400 \ssi u_n=v_n-400$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+400 \\
    &=1,05u_n+20+400\\
    &=1,05\left(v_n-400\right)+420\\
    &=1,05v_n-420+420\\
    &=1,05v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $v_0=u_0+400=500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=500\times 1,05^n$.
    $\quad$
    c. et $u_n=v_n-400=500\times 1,05^n-400$.
    $\quad$
    d. À la fin du $7\ieme$ mois on a $n=7$.
    Or $u_7=500\times 1,05^7-400\approx 303,55$.
    Le bambou mesurera environ $3,04$ m à la fin du $7\ieme$ mois.
    $\quad$
  4. a. On obtient le tableau suivant
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Test }u<200&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{faux}\\
    \hline
    \text{Valeur de }u&100&125&151,25&178,8125&207,753125&\\
    \hline
    \text{Valeur de }n&0&1&2&3&4&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. À la fin de l’exécution de l’algorithme on a $n=4$.
    Cela signifie donc qu’au bout de $4$ mois, la taille du bambou dépasse $2$ m.
    $\quad$
    c. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    u\leftarrow 50\\
    n\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }u<1000 \text{ faire}\\
    \hspace{1cm} u\leftarrow 1,05\times u+20\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient le graphe suivant :
    $\quad$
  2. On a $\begin{cases} a_{n+1}=0,9a_n+0,3b_n \\b_{n+1}=0,1a_n+0,7b_n\end{cases}$
    Par conséquent, la matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. On a $M^2=\begin{pmatrix} 0,84&0,16\\0,48&0,52\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{pmatrix}a_2&b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}\times M^2=\begin{pmatrix}0,552&0,448\end{pmatrix}$.
    Donc $a_2=0,552$ et $b=0,448$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’en 2020 $55,2\%$ des 12-18 ans posséderont la carte.
    $\quad$
  4. a. On note $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ l’état stable.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=P\times A\\a+b=1 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=0,9a+0,3b\\b=0,1a+0,7b\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}-0,1a+0,3b=0\\0,1a-0,3b=0\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \begin{cases} -0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 0,1a=0,3b\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=3b\\4b=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=0,25\\a=0,75\end{cases}\end{align*}$
    Sur le long terme, $75\%$ des 12-18 ans possédera car la carte.
    La mairie peut espérer qu’à l’avenir au moins $70 \%$ de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
    $\quad$

Partie B

  1. On a l’algorithme :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    A\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que $A<0,7$ faire}\\
    \hspace{1cm} A \text{ prend la valeur }0,6\times A+0,3\\
    \hspace{1cm} N \text{ prend la valeur }N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, la suite $\left(a_n\right)$ est croissante et définie par $a_0=0,2$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,6a_n+0,3$.
    D’après la calculatrice $a_4\approx 0,679 <0,7$ et $a_5\approx 0,707>0,7$.
    C’est donc en 2023 que l’objectif sera atteint.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La tangente $T$ semble passer par les points $A(-5;1,4)$ et le point de coordonnées $(-10,3)$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T$ est :
    $a\approx \dfrac{3-1,4}{-10-(-5)}$ soit $a\approx -0,32$.
    La meilleure approximation fournie est donc $-\dfrac{1}{3}$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. La courbe $\mathscr{C}$ semble en-dessous de ses tangentes sur l’intervalle $[-10;-5]$ et au-dessus sur l’intervalle $[-5;5]$.
    La fonction $f$ semble donc concave sur l’intervalle $[-10;-5]$ et convexe sur l’intervalle $[-5;5]$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. L’aire du domaine $S$ semble approximativement égal à $5$ u.a.
    Or $5\in[4;7]$.
    Réponse b
    $\quad

Partie B

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)=1\times \e^{0,2x}+(x-5)\times 0,2\e^{0,2x} \\
    &=\left(1+0,2(x-5)\right)\e^{0,2x} \\
    &=(1+0,2x-1)\e^{0,2x} \\
    &=0,2x\e^{0,2x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    avec $f(-10)=-15\e^{-2}+5$.
    $\quad$
    c. Le coefficient directeur de la tangente $T$ est $f'(-5)=-\e^{-1}$.
    $\quad$
  2. a. D’après le logiciel de calcul formel on a, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10;5]$ :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{1}{25}x\e^{x/5}+\dfrac{1}{5}\e^{x/5}  \\
    &=0,04x\e^{0,2x}+0,2\e^{0,2x}\\
    &=(0,2+0,04x)\e^{0,2x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $0,2+0,04x$.
    Or $0,2+0,04x=0 \ssi 0,04x=-0,2 \ssi x=-5$
    et $0,2+0,04x>0 \ssi 0,04x>-0,2 \ssi x>-5$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-10;-5]$ et convexe sur l’intervalle $[-5;5]$.
    $\quad$
  3. a. On a donc :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_0^5 f(x)\dx \\
    &=F(5)-F(0) \\
    &=-25\e+25+50\\
    &=75-25\e\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’aire du domaine du plan situé sous la drite $\mathscr{D}$, au-dessus de l’axe des abscisses et compris entre les droites d’équation $x=0$ et $x=5$ est :
    $J=\ds \int_0^5 x\dx =\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^5=\dfrac{25}{2}=12,5$ u.a.
    $\quad$
    c. L’aire du domaine $S$ est donc :
    $\begin{align*} A&=\ds \int_0^5 \left(x-f(x)\right)\dx \\
    &=\int_0^5 x\dx -\int_0^5 f(x)\dx \\
    &=J-I\\
    &=12,5-75+25\e\\
    &\approx 5,46 \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Le taux d’évolution de l’émission de CO$_2$ par cette entreprise entre 2014 et 2015 est $t=\dfrac{14,7-15}{15}=-0,02=-2\%$.
    L’entreprise a diminué ses émissions de CO$_2$ de $2\%$ entre 2014 et 2015.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur associé à cette baisse de $2\%$ est $1-0,02=0,98$.
    Le taux de diminution annuel de CO2 émis restera constant pendant les années suivantes.
    On veut donc déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} 15\times 0,98^n\pp 12 &\ssi 0,98^n \pp 0,8 \\
    &\ssi n\ln 0,98 \pp \ln 0,8\\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,8}{\ln 0,98}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,8}{\ln 0,98}\approx 11,05$. Ainsi $n\pg 12$
    C’est donc à partir de l’année 2026 que la quantité de CO2 émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de $12$ milliers de tonnes.$\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

La partie C est indépendante des parties A et B.

Une grande enseigne décide d’organiser un jeu permettant de gagner un bon d’achat. Le jeu se déroule en deux étapes :

  • Étape 1 : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert;
  • Étape 2 :
    – s’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile;
    – sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.

Un bon d’achat est gagné par le client si la roue s’arrête sur une étoile.

Partie A

Un client joue à ce jeu. On note :
$N$ l’évènement « Le client découvre un numéro entre $1$ et $15$ »;
$E$ l’évènement « Le client obtient une étoile ».

  1. a. Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
    $\quad$
    b. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre $1$ et $15$ et une étoile.
    $\quad$
  3. Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d’achat est égale à $0,31$.
    $\quad$
  4. Le client a gagné un bon d’achat. Quelle est la probabilité qu’il ait obtenu un numéro entre $1$ et $15$ à la première étape ?
    $\quad$

Partie B

Le montant d’un bon d’achat est de $10$ euros.
Pour ce jeu, le directeur de l’hypermarché a prévu un budget de $250$ euros par tranche de $100$ clients y participant. Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule $100$ fois le jeu d’un client à l’aide d’un logiciel.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à $100$ jeux simulés, associe le nombre de bons d’achat gagnés. On admet que $X$ suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres de $X$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité pour qu’il y ait exactement $30$ clients gagnants.
    $\quad$
  3. Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d’achat ?
    Le budget prévisionnel est-il suffisant ?
    $\quad$

Partie C
La direction de l’hypermarché étudie le temps que les clients passent dans son magasin.
On admet que le temps, exprimé en minute, passé dans ce magasin par un client peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 45$ et d’écart type $\sigma = 5$.

  1. Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard dans ce magasin reste entre $30$ et $60$ minutes.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de $50$ minutes.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Un infographiste simule sur ordinateur la croissance d’un bambou. Il prend pour modèle un bambou d’une taille initiale de $1$ m dont la taille augmente d’un mois sur l’autre de $5 \%$ auxquels s’ajoutent $20$ cm.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note un la taille, exprimée en centimètre, qu’aurait le bambou à la fin du $n$-ième mois, et $u_0 = 100$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1, 05\times u_n +20$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = u_n +400$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 500\times 1, 05^n-400$.
    $\quad$
    d. Calculer la taille du bambou, au centimètre près, à la fin du $7\ieme$ mois.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel $n$ est un entier naturel et $u$ est un nombre réel.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    u\leftarrow 100\\
    n\leftarrow 0\\
    \text{Tant que $<200$ faire}\\
    \hspace{1cm}\begin{array}{|l} u\leftarrow 1,05\times u+20\\
    n\leftarrow n+1\end{array}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline\end{array}$$
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l’exécution de l’algorithme.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Test }u<200&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\text{vrai}& \phantom{vrai}& \hspace{1cm} \ldots \hspace{1cm}\\
    \hline
    \text{Valeur de }u&100&&&\ldots\\
    \hline
    \text{Valeur de }n&0&&&\ldots\\
    \hline \end{array}$$
    b. Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée dans cet exercice.
    $\quad$
    c. Modifier les lignes nécessaires dans l’algorithme pour déterminer le nombre de mois qu’il faudrait à un bambou de $50$ cm pour atteindre ou dépasser $10$ m.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

La mairie d’une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que dans l’avenir, au moins $70 \%$ de la population des 12-18 ans possèdent la carte et si oui, en quelle année cela se produirait.

Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que $10 \%$ des possesseurs de la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, $30 \%$ de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l’année précédente achètent la carte. On fait l’hypothèse que l’effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l’évolution va rester la même pour les prochaines années.
En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

On note, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l’année 2018$+n$, et $b_n$ la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

Partie A

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$ où le sommet $A$ représente l’état « posséder une carte jeune » et $B$ l’état « ne pas posséder une carte jeune ».
    $\quad$
  2. Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l’ordre $A$ puis $B$ des sommets.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $a_2 = 0,552$ et $b_2 = 0,448$.
    $\quad$
    b. Interpréter le coefficient $0,552$ dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
  4. On note $a$ et $b$ les coefficients de la matrice $P$ correspondant à l’état stable de ce graphe.
    a. Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\begin{cases}-0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Justifier que la mairie peut espérer qu’à l’avenir au moins $70 \%$ de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
    $\quad$

Partie B

On admet que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0, 6 a_n + 0, 3$ et que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.

  1. On donne l’algorithme suivant dans lequel A est un nombre réel et N est un entier naturel.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    A\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que $\ldots\ldots$ faire}\\
    \hspace{1cm}\begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur }\ldots \ldots \\
    B \text{ prend la valeur }\ldots \ldots\end{array}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline\end{array}$$
    Recopier puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche le nombre d’années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu’au moins $70 \%$ de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
    $\quad$
  2. En quelle année l’objectif sera-t-il atteint ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Dans la figure ci-dessous sont représentés dans un repère orthogonal :
$\qquad$ – la courbe $\mathscr{C}$ représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 5]$;
$\qquad$ – la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-5$;
$\qquad$ – la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = x$ ;
$\qquad$ – le domaine $S$ situé entre la droite $\mathscr{D}$ et la courbe $\mathscr{C}$ , grisé sur la figure.

Partie A
Dans cette partie les estimations seront obtenues par lecture graphique.
Cette partie A est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. Parmi les quatre valeurs ci-dessous, la meilleure valeur approchée du coefficient directeur de la tangente $T$ est :
    a. $-\dfrac{1}{3}$
    b. $-3$
    c. $3$
    d. $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble :
    a. concave sur $[-3;0]$
    b. concave sur $[-10;0]$
    c. convexe sur $[-10;5]$
    d. convexe sur $[-5;5]$
    $\quad$
  3. L’aire du domaine S, en unité d’aire, appartient à l’intervalle :
    a. $[-4;-2]$
    b. $[4;7]$
    c. $[0;3]$
    d. $[7;10]$
    $\quad$

Partie B
La fonction $f$ précédente, définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$, a pour expression $f (x) = (x-5)\e^{0,2x} +5$.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5]$ .
    a. Montrer que $f'(x)=0, 2x\e^{0,2x}$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-5$.
    $\quad$
  2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
    $$\begin{array}{c|l}
    \hline
    ~1~&g(x)=0.2x*\exp(0.2x)\\
    & \phantom{g(x)}\rightarrow \quad g(x)=\dfrac{1}{5}x\e^{\frac{1}{5}x}\\
    \hline
    2&\text{Dérivée }\quad g'(x)=\dfrac{1}{25}x\e^{\frac{1}{5}x}+\dfrac{1}{5}\e^{\frac{1}{5}x}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de $f$ , notée $f\dsec$, est définie par $f\dsec(x)=(0, 2+0, 04x)\e^{0,2x}$.
    $\quad$
    b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$.
    $\quad$
  3. On admet qu’une primitive de $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5]$ est la fonction $F$ définie par $F(x) = (5x−50)\e^{0,2x} +5x$.
    a. Déterminer la valeur exacte de $I$ définie par $I = \ds \int_0^5 f(x)\dx$.
    $\quad$
    b. Montrer que l’aire du domaine du plan situé sous la droite $\mathscr{D}$, au-dessus de l’axe des abscisses et limité par la droite d’équation $x = 5$ vaut $12, 5$ unités d’aire.
    $\quad$
    c. En déduire une valeur approchée de l’aire du domaine $S$ en unité d’aire.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     3 points

Afin de respecter l’accord signé sur la pollution de l’air, certaines entreprises, dès l’année 2014, ont été contraintes de diminuer chaque année la quantité de CO$_2$ qu’elles produisent.
Une de ces entreprises émettait $15$ milliers de tonnes de CO$_2$ en 2014 et $14,7$ milliers de tonnes en 2015.
On suppose que le taux de diminution annuel de CO$_2$ émis restera constant pendant les années suivantes.

  1. Calculer le taux d’évolution de l’émission de CO$_2$ par cette entreprise entre 2014 et 2015.
    $\quad$
  2. L’accord prévoit que cette entreprise devra produire moins de 12 milliers de tonnes de CO$_2$ par an. En détaillant la méthode employée, déterminer à partir de quelle année la quantité de CO$_2$ émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de $12$ milliers de tonnes.
    $\quad$